线性代数 教学课件 作者 侯亚君 1_第5章相似矩阵与二次型 5.1向量内积.ppt

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1、5.1向量的内积、长度及正交性首页上页下页返回结束内积的定义与性质向量的长度和夹角正交向量组的概念及求法正交矩阵与正交变换5.1.1内积的定义与性质的范数、夹角等.且在直角坐标系中，有向量的数量积定义向量的内积可用来刻画向量的度量性质，首页上页下页返回结束如向量在空间解析几何中，我们曾引进3维首页上页下页返回结束定义5.1设有n维向量令内积是两个向量的一种运算，用矩阵记号表示[x,y]=xTy.[x,y]称为向量x与y的内积.n维向量的内积是数量积坐标表示式的一种推广.内积具有下列性质（其中x，y，z为n

2、维向量，λ为实数）：首页上页下页返回结束（1）[x,y]=[y,x]；（2）[λx,y]=λ[x,y]；（3）[x+y,z]=[x,z]+[y,z]；（4）[x,x]≥0，当且仅当x=0时等号才成立.利用这些性质，还可证明施瓦茨不等式[x,y]2≤[x,x][y,y].5.1.2向量的长度与夹角定义5.2令称为n维向量x的长度（或范数）.n维向量没有3维向量那样直观的长度和夹角的概因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推广，并且反过来，利用内积来定义n维向量的长度和夹角.念，首页上页下页返回结束（3）三角不

3、等式（2）齐次性证明向量的长度具有下述性质：当时，（1）非负性当且仅当x=0时，称x为单位向量.首页上页下页返回结束向量的内积满足施瓦茨不等式由此可得首页上页下页返回结束称为n维向量x与y的夹角.[x,y]2≤[x,x][y,y].（当时），定义5.3当时，于是有下面的定义：5.1.3正交向量组的概念及求法当[x,y]=0，称向量x与y正交.显然，若x=0，则x与任何向量都正交.下面讨论正交向量组的性质.定理5.1正交向量组是线性无关的.是指一组两两正交的非零向量.证明所谓正交向量组，首页上页下页返回结束

4、首页上页下页返回结束那么它应满足解齐次线性方程组例5.1由首页上页下页返回结束从而有基础解系得取即合所求.定义5.4设n维向量e1,e2,…,er是向量空间V首页上页下页返回结束且都是单位向量，范正交基.（）的一个基，例如如果e1,e2,…,er两两正交，则称e1,e2,…,er是V的一个规首页上页下页返回结束所以e1,e2,e3,e4就是的一个规范正交基.由于首页上页下页返回结束一向量a应能由e1,…,er线性表示，并且若e1e2er是V的一个规范正交基那么V中任a[ae1]e1[a

5、e2]e2[aer]er事实上设a1e12e2rereiTaieiTeii即ieiTa[aei].◆向量在规范正交基中的坐标以eiT左乘上式（i=1,…,r)，则有首页上页下页返回结束V的一个规范正交基.设a1,a2,···,ar是向量空间V的一个基，要求单位向量e1,…,er，使e1,…,er与a1,…,ar等价.也就是要找一组两两正交的这样的问题，称为把a1,…,ar这个基规范正交化.我们可以用以下办法把a1,…,ar规范正交化：取◆规范正交基

6、的求法首页上页下页返回结束容易验证b1,…,br两两正交，且b1,…,br与a1,…,ar等价.然后把它们单位化，即取首页上页下页返回结束就是V的一个规范正交基.上述从线性无关向量组a1,…,ar导出正交向量组b1,…,br的过程，过程.它不仅满足b1,…,br与a1,…,ar等价，还满足：对任何k（1≤k≤r)，向量组b1,…,bk与a1,…,ak等价.称为施密特（Schimidt）正交化首页上页下页返回结束例5.2设试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.解取b1=a1，首页上页下页返回结束再把它们

7、单位化，取e1,e2,e3即为所求.首页上页下页返回结束例5.3已知，求一组非零向量a2,a3，使a1,a2,a3两两正交.解a2,a3应满足方程即它的一个基础解系首页上页下页返回结束再把ξ1,ξ2正交化，即合所求.亦即取于是得其中5.1.4正交矩阵与正交变换定义5.5如果n阶矩阵A满足那么称A为正交矩阵，简称正交阵.（即）正交矩阵具有下列性质：（1）若A为正交阵，且或-1；则也是正交阵，首页上页下页返回结束首页上页下页返回结束定理5.2方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列（行）向量都是单位向量，且两两

8、正交.即证明A=(a1,a2,…,an)为正交矩阵等价于（2）若A和B都是正交阵，则AB也是正交阵.首页上页下页返回结束也等价于即A的列向量都是单位向量，且两两正交.论对A的行向量亦成立.因为与等价，所以上述结由此可见，n阶正交矩A的n个列（行）向量构成向量空间的一个规范正交基.首页上页下页返回结束例5.4验证矩阵是正交阵.证P的每个列向量都是单位向量，交，且两两正所以P是正交阵.首页上页下页返回结束定义5.6若P为正交矩阵，