线性代数 教学课件 作者 侯亚君 1_第1章行列式 1.2行列式的定义.ppt

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1、1.2行列式的定义二阶与三阶行列式首页上页下页返回结束二阶行列式三阶行列式n阶行列式的定义1.2.1二阶与三阶行列式用消元法解二元线性方程组（1-1）当时，（1-2）该方程组的解为首页上页下页返回结束首页上页下页返回结束解的分子、分母均由四个数按同样模式确定：积之差.当时，（1-2）该方程组的解为两个为了便于记忆，把这种运算模式抽象成二阶行列式.定义1.5由四个数排成二行二列（横排称行、首页上页下页返回结束表达式a11a22a12a21行列式，并记作竖排称列）的数表（1-3）（1-4）即称为数表（1-3）所确定的二阶首页上页下页返回结束二阶行列式的计算对角线法则主对角线副对角线

2、若记对于二元线性方程组系数行列式首页上页下页返回结束首页上页下页返回结束首页上页下页返回结束则当D≠0时，方程组（1-1）的解为首页上页下页返回结束注分母D是由方程组（1-1）的系数确定的二阶行列式，x1的分子D1是用常数项b1,b2替换D中x1的系数a11，a21所得的二阶行列式，类似地可得D2.首页上页下页返回结束因此例1.2求解二元线性方程组解首页上页下页返回结束平行四边形OACB的面积.例1.3在xoy面上有一个平行四边形OACB，A、B两点的坐标分别为(a1,b1)，(a2,b2)，如图所示，求yCB(a2,b2)OA(a1,b1)xED解首页上页下页返回结束定义1.6

3、设有9个数排成3行3列的数表记式（1-6）称为数表（1-5）所确定的三阶行列式.（1-5）（1-6）首页上页下页返回结束注意（1）红色实线上三元素的乘积冠正号，色虚线上三元素的乘积冠负号;三阶行列式的计算对角线法则用于二阶与三阶行列式.（2）对角线法则只适黄首页上页下页返回结束例1.4计算三阶行列式解按对角线法则，有首页上页下页返回结束例1.5求一个二次多项式f(x)，使f(1)=0，解设所求的二次多项式为f(2)=3，f(-3)=28.依题意得线性方程组首页上页下页返回结束于是得即1.2.2n阶行列式的定义观察：三阶行列式存在什么规律？说明：1.每项都是位于不同行不同列的三个元

4、素的乘积，首页上页下页返回结束首页上页下页返回结束2.三阶行列式共有6项，即3!项．所以任一项除正负号外可以写成p1p2p3是1,2,3的某一排列，其中3.带正号的三项列标排列是123,312,231,逆序数逆序数分别为3,1,1.分别为0,2,2；所以各项所带的正负号可以表示这样的排列共有6种.带负号的三项列标排列是321,213,132,首页上页下页返回结束定义1.7设有n2个数排成n行n列的数表因此，三阶行列式可以写成为(-1)t，其中t为列标排列的逆序数.Σ表示对1,2,3三个数的所有排列取和.其中t为排列的逆序数，的项，得到形如做出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并

5、冠以符号，这个排列的逆序数，（1-8）为1,2,…,n的一个排列，其中t为这样的排列共n!个，形如首页上页下页返回结束称为n阶行列式，记作（1-8）式的项共有n!项.简记作数称为行列式D的(i,j)元.所有这n!项的代数和首页上页下页返回结束n阶行列式也可定义为其中t为行标排列的逆序数，例1.6证明n阶行列式Σ表示对首页上页下页返回结束1,2,…,n的所有排列取和.其中未写出的元素都是0.证第一式是显然的，下面只证第二式.首页上页下页返回结束其中t为列标排列的逆序数，证毕.例如表明四阶行列式的计算不再遵循对角线法则.故首页上页下页返回结束即例1.7证明下三角形行列式证由于当时，，

6、故D中可能不为零的元素，其下标必满足首页上页下页返回结束项只有一项能满足上述关系的排列在所有排列中，此项的符号只有一个自然排列12…n，所以证毕所以D中可能不为0的首页上页下页返回结束