1.4行列式按行(列)展开

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1、1.4行列式按行(列)展开§1.4行列式按行（列）展开利用行列式的性质可求出很多行列式的值，但对某些行列式，若用性质来计算比较复杂，如xy00L000xyL0D=LLLLLL;n000Lxyy00L0x为此需讨论行列式的按行（列）展开，以低阶行列式表示高阶行列式（即降阶），简化行列式的计算.统计软件分析与应用线性代数B1.4行列式按行(列)展开例如:aaa111213=aaa+aaa+aaaaaa112233122331132132212223−aaa−aaa−aaaaaa112332122133132231,313233=a(aa−aa)+a(aa−aa)1122332

2、3321223312133+a(aa−aa)1321322231aaaaaa222321232123=a−a+a111213aaaaaa3233313331331+1a22a231+2a21a231+3a21a23=a11⋅(−1)+a12⋅(−1)+a13⋅(−1)a32a33a31a33a31a33统计软件分析与应用线性代数B1.4行列式按行(列)展开一、余子式(cofactor)与代数余子式(algebraiccofactor)在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n−1阶行列式叫做元素aij的余子式，记作M.iji+j记A=(−1)M，叫

3、做元素a的代数余子式．ijijijaaaa11121314aaa111214aaaa21222324例如D=,Ma23=31a32a34,aaaa31323334aaa414244aaaa4142434423+AM=−()1.=−M232323统计软件分析与应用线性代数B1.4行列式按行(列)展开二、行列式按行（列）展开法则引理引理::如果在n阶行列式D=det(aij)中，第i行所有元素除a外都为零，则行列式等于a与它的代数ijij余子式A的乘积，即D=aA.ijijij定理定理::行列式等于它的任一行（列）上的所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即D=det(aa

4、)=+AaA+L+aA,(1in=,L,)iji11ii2i2inin及D=det(aa)=+AaA+L+aA,(1j=,L,n)ij11jj2j2jnjnj统计软件分析与应用线性代数B1.4行列式按行(列)展开aaLa11121nLLLLD=aa+00+L+0+++LLL000+++a证:ii12inLLLLaaLann12nnaaLaaaLaaaLa11121n11121n11121nLLLLLLLLLLLL=a00L+00aL++L00Lai1i2inLLLLLLLLLLLLaaLaaaLaaaLann12nnnn12nnnn12nn=+aAaA+L+aA,(1in

5、=,2,L,)i11ii2i2inin统计软件分析与应用线性代数B1.4行列式按行(列)展开推论推论::行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即aA++aAL+aA=0,()i≠jij11i2j2injn及aA11ij+a2iA2j++LaniAnj=0,()i≠j从而对n阶行列式D=det(a)有ijn⎧D,,当ij=n⎧D,,当ij=∑aAikjk=⎨∑aAkikj=⎨k=1⎩0,当ij≠;k=1⎩0,当ij≠;⎧1,当，ij=nn若记δij=⎨则∑aAikjk=Dδij,∑aAkikj=Dδij⎩0,当ij≠,k=1k=1统计软

6、件分析与应用线性代数B1.4行列式按行(列)展开说明:在计算行列式时，经常将性质与展开法则结合使用：一般先用性质使行列式中的某一行(列)中除某个元素外，其余全化为0，再进行展开；或取0元素较多的行(列)进行展开.31−12−−5134例:D==L=40201−115−3−3统计软件分析与应用线性代数B1.4行列式按行(列)展开xy00L000xyL0按或cr展开例:D=LLLLLL11n000Lxyy000LxxyL00y00L000xL0xyL00x⋅−(1)11+LLLLL+⋅y(1−)n+1LLLLL00Lxy00Ly000L0xn−1阶00Lxyn−1阶nn+1n

7、=+x(1−)y统计软件分析与应用线性代数B1.4行列式按行(列)展开011L11123Ln112Ln−1rr−01−x1L11ii+1例:D=11xnL−2001−xL11in=1,L,−1LLLLLLLLLLL000L1−x11xxL111xxLx11L1111−xL11按展c开rrii−+11n+1(1−)01−xL11in=1,L,−2LLLLLx00L0010−xxL0000L1−x1n−1阶01−xxL00n+1nn+−12(1−)=−(1)xLLLLLL000Lx0000L1−x1n−1阶统计软件分析与应用线性代