行列式按行(列)展开(II)

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1、复习一、n阶行列式的定义二、行列式的五个性质转置、换法变换、倍法变换、消法变换、加法三、特殊的行列式第四节行列式按行(列)展开余子式与代数余子式行列式按行(列)展开的法则引言对于三阶行列式来说，容易验证，这样，三阶行列式的计算可以归结为二阶行列式的计算.可以证明n阶行列式的计算总可以化为为阶数较低的行列式的计算.为此引入子式和代数余子式的概念.余子式与代数余子式在n阶行列式Ddet(aij)中把元素aij所在的第i行和第j列划去后剩下来的n1阶行列式叫做元素aij的余子式记作Mij记A

2、ij(1)ijMijAij叫做元素aij的代数余子式A23(1)23M23M23例如已知则a23的余子式和代数余子式为解例1求行列式中元素a31和a32的代数余子式503221304A31(1)3103040A32(1)32533429定理(行列式按行(列)展开法则)行列式等于它的任一行(列)各元素与其对应的代数余子式乘积的和即Dai1Ai1ai2Ai2ainAin(i=12n)或Da1jA1ja2jA2j

3、anjAnj(j=12n)推论行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零即ai1Aj1ai2Aj2ainAjn0(ij)或a1iA1ja2iA2janiAnj0(ij)综合结论D=a13A13+a23A23+a33A33+a43A43其中a13=3a23=1a33=-1a43=0例2计算行列式将D按第三列展开解所以=-24D=319+1(-63)+(-1)18+0(-10)应有例3已知四

4、阶行列式D中第3列元素依次为1201它们的余子式依次分别为5374求D?解Da13(1)13M13a23(1)23M23+a33(1)33M33a43(1)43M43(1)(1)1352(1)2331(1)43415注行列式Dn称为n阶范德蒙行列式。提示第n1行乘a1加到第n行第n2行乘a1加到第n1行第n3行乘a1加到第n2行提示按第一列展开提示各列提出公因式例4

5、(a2a1)(a3a1)(ana1)(a3a2)(ana2)Dn2例4(a2a1)(a3a1)(ana1)Dn1于是Dn(a2a1)(a3a1)(ana1)Dn1相关结果行列式按第i行展开得将元素ai1换成b1ai2换成b2ain换成bn得相关结果如果第i行的元素为b1b2bn则有如果第j列的元素为b1b2bn则有解例5式依次记作Mij和Aij求A11A12A13A14及M

6、11M21M31M41r4r3r3r1按第三列展开c2c1按第三行展开4解例5式依次记作Mij和Aij求A11A12A13A14及M11M21M31M41M11M21M31M41A11A21A31A410r4r3按第四行展开r12r3例6计算n阶行列式解按第一行展开得an(1)n1bn小结行列式按行(列)展开余子式与代数余子式行列式按行(列)展开的法则余子式与代数余子式的应用