行列式按行（列）展开

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1、1.4行列式按行（列）展开定义1：在n阶行列式中，把元素所在的第i行和第j列划去后，余下的n－1阶行列式叫做元素的余子式。记为称为元素的代数余子式。例如：注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式。注：元素的余子式（代数余子式）只与它的位置有关，与它本身的值，还有第i行，第j列上的其他任何元素无关定理1行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式之和或．推论行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零，即或．综上，得公式在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公

2、式并不一定简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n－1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理在理论上是重要的。例1证明范德蒙德（Vander-monde）行列式证对行列式阶数用数学归纳法．当时，，结论成立．假设对阶范德蒙德行列式结论成立，往证阶范德蒙德行列式也成立．从第行开始，后行减前行的倍，得按第1列展开，并提出每一列的公因子，有上式右端的行列式是一个阶范德蒙德行列式，由归纳法假设，它等于所有因子的乘积，其中，即例2计算如下“两边加一对角”型

3、行列式：解：例计算解练习：用降阶法（按行按列展开）计算行列式的值。=57总结：1、定义法：“0”巨多（很少用）2、化三角形法：(a)行（列）和相等，如P15：例3，P16例4，P23：例3,(1)，P24：例4,P38:10(2),P39:14（5）;(b)三条线型行列式：爪型（P41,4（3）），两对一边（P38，14（4）），三对角线型（如P25，例6）.3、降阶法：(a)直接根据行列式的性质将某一行元素化成尽可能多的“0”，然后展开（P23：例3,(2)）;(b)归纳法：如P26：例7(范德蒙德行列式);(c

4、)递推法，如P25：例6.注：1、对于行（列）和相等的行列式，我们通常把第二行到第n行都加到第一行(列)上去，使得第一行（列）的元素都相等，然后提公因子。2、我们在计算行列式时首先要观察它的结构再计算（P37:8（2），（5））&1.5克拉默法则对于二元一次方程组当系数行列式时,有惟一解，我们知道，二元一次方程组的解可以用行列式表示，那么含有n个未知量x1,x2,…,xn的n个线性方程的方程组的解能否用行列式表示呢？回答是肯定的，即有设含有个未知数，个方程的线性方程组为(2)阶行列式称为方程组(2)的系数行列式．定

5、理1（克拉默法则）若线性方程组(2)的系数行列式，则方程组有惟一解(3)其中是将系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即例1解四元线性方程组解系数行列式于是得注:1、利用克拉默法则求解时，这个方程组必须满足两个条件:(a)方程组中方程的个数必须与未知量的个数相等，（b）系数行列式不为零。2、理论意义：克拉默法给出了解与系数的明显关系。但用此法则求解线性方程组计算量大。3.撇开求解公式Cramer法则可叙述为下面定理：定理2：如果线性方程组(2)的系数行列式则(2)一定有解,且解是唯一的.

6、定理2'：如果线性方程组(2)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.例2解方程组解系数行列式于是得线性方程组则称此方程组为非齐次线性方程组。此时称方程组为齐次线性方程组。非齐次与齐次线性方程组的概念:对于齐次线性方程组x1=x2=…=xn=0一定是它的解。称为齐次方程组(4)的零解。如果一组不全为零的数是(4)的解，则叫做齐次方程组的非零解。方程组(4)一定有零解，但不一定有非零解。定理3：如果齐次线性方程组的系数行列式则齐次线性方程组没有非零解。定理3′：如果齐次线性方程组(4)有非零解，则它的系数行列式

7、D必为0。例如：系数行列式D=0是齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。系数行列式有非零解.例3问取何值时，齐次线性方程组有非零解．解由定理6可知，若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式，而由，解得、或．不难验证，当、或时，原齐次线性方程组确有非零解．思考题:当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?解答:不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解.作业：P39：15（5）、17、18克莱姆（Cramer,Gabriel,17041752）瑞士数学家,于1704年7月31日

8、生于日内瓦。1724年起在日内瓦加尔文学院任教，1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授。他自1727年进行为期两年的旅行访学。在巴塞尔与约翰．伯努利、欧拉等人学习交流，结为挚友。他一生未婚，专心治学，平易近人且德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员。该法则于1729年由英国数学家马克劳林得到，1748年发表，但克莱姆的