行列式按行(列)展开(I)

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1、第三节行列式按行（列）展开余子式、代数余子式一、预备知识在n阶行列式中，把(i,j)元所在的第i行第j列划去后，顺序构成的一个n-1阶行列式，余下的元素按原来称为元素的余子式，记作Mij，即记称为元素的代数余子式。例1求四阶行列式的代数余子式解引理。一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除(i,j)元零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即外都为证先证（i，j）=（1，1）的情形，此时由前面的学习得到把D的行列式作如下调整：把D的第i行依次与第i-1行、第i-2行、…、第1行对调，这时就调成（1，j）元，调换的次数为i-1，再把第j列依次与第j-1列、第j-2列、…、第1

2、列对调，这就调成（1，1）元了，调换的次数为j-1。总之，经过i+j-2次对调，把数调成（1，1）元，行列式D变成了D1。则再证一般情形，此时D1=（-1）i+j-2D=（-1）i+jD而D1中（1，1）元的余子式就是D中（i，j）元的余子式。而由前面的证明知D1=aijMij从而得D=（-1）i+jaijMij=aijAij二、行列式按行（列）展开定理行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即或证根据引理，即得类似的，若按列证明，可得这个定理叫做行列式按行（列）展开法则。这个也作为行列式的另一定义三、行列式按行（列）展开法则的应用1、在计算行列式时使用

3、按行（列）展开，主要的作用达到降阶简化计算，但是如果选择的行或列上的元素大部分是非零元的话，会增加计算量，所以使用此定理化简行列往往选择的是零元越多的行或列展开。在实际的应用过程中，有可能先用行列式的性质将行列式中某行或列的零元增多。例2求四阶行列式解把行列式的第2列乘以2加到第4列上，有（按第1行展开）例3计算n阶（n>1）行列式解行列式中每行（列）都含有多个零。可将行列式按第1列展开，得2、推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即或证由前面定理证明过程有，行列式按第i行展开，有在上式中把，，可得两行相同=0上述证法用于列，即可得证毕

4、。从上面的证明过程，可知若要计算式代替原行列式的第j行的各元素，而得到新相当于用的行列式。分析所计算的是第三列的代数余子式的和,应想办法转化为原来的行列式,再进行求解.理解成将行列式的第3列元素全换成1后按第3列展开而得到的,于是有=0第2列与第3列成比例而可以看成是第2列的各元素去乘第3列各元素的代数余子式，由推论可知它为0，从而所求的值为0。例5此行列式的结构特点：①第1行全为1；将它们连乘。具体如下：第i列减去第1列有n-1项：；第i列依次类推，第n列减去第n-1列只有。范德蒙德行列式③结论指的是，后列的元素减去前列的元素，共有项，然后减去第2列有n-2项：1项：②形式:

5、按升幂排列从零排到n-1,幂指数成等差数列；习作题解将行列式的第四行与第一行调换，再将行列式的第二行和第三行调换，得解本题虽然第一行元素为1，但后行与前一行比不相同，但它还是有范德蒙德行列式的影子，看能否通过一些变化能否变成范德蒙德行列式。若从第i()行中提取公因子，第1列全为1，即例7计算小结（行列式的求法）(一)利用行列式的性质将行列式化为三角行列式法(造零法)(二)行(或列)和相等的行列式计算(三)三条线的行列式的计算（爪子形：去爪子）(四)递推公式法(七)升阶法(加边法)(六)范德蒙行列式法(五)降阶法分块结论、按行（列）展开