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时间:2019-08-07
《行列式按行(列)展开(I)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三节行列式按行(列)展开余子式、代数余子式一、预备知识在n阶行列式中,把(i,j)元所在的第i行第j列划去后,顺序构成的一个n-1阶行列式,余下的元素按原来称为元素的余子式,记作Mij,即记称为元素的代数余子式。例1求四阶行列式的代数余子式解引理。一个n阶行列式,如果其中第i行所有元素除(i,j)元零,那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积,即外都为证先证(i,j)=(1,1)的情形,此时由前面的学习得到把D的行列式作如下调整:把D的第i行依次与第i-1行、第i-2行、…、第1行对调,这时就调成(1,j)元,调换的次数为i-1,再把第j列依次与第j-1列、第j-2列、…、第1
2、列对调,这就调成(1,1)元了,调换的次数为j-1。总之,经过i+j-2次对调,把数调成(1,1)元,行列式D变成了D1。则再证一般情形,此时D1=(-1)i+j-2D=(-1)i+jD而D1中(1,1)元的余子式就是D中(i,j)元的余子式。而由前面的证明知D1=aijMij从而得D=(-1)i+jaijMij=aijAij二、行列式按行(列)展开定理行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即或证根据引理,即得类似的,若按列证明,可得这个定理叫做行列式按行(列)展开法则。这个也作为行列式的另一定义三、行列式按行(列)展开法则的应用1、在计算行列式时使用
3、按行(列)展开,主要的作用达到降阶简化计算,但是如果选择的行或列上的元素大部分是非零元的话,会增加计算量,所以使用此定理化简行列往往选择的是零元越多的行或列展开。在实际的应用过程中,有可能先用行列式的性质将行列式中某行或列的零元增多。例2求四阶行列式解把行列式的第2列乘以2加到第4列上,有(按第1行展开)例3计算n阶(n>1)行列式解行列式中每行(列)都含有多个零。可将行列式按第1列展开,得2、推论行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即或证由前面定理证明过程有,行列式按第i行展开,有在上式中把,,可得两行相同=0上述证法用于列,即可得证毕
4、。从上面的证明过程,可知若要计算式代替原行列式的第j行的各元素,而得到新相当于用的行列式。分析所计算的是第三列的代数余子式的和,应想办法转化为原来的行列式,再进行求解.理解成将行列式的第3列元素全换成1后按第3列展开而得到的,于是有=0第2列与第3列成比例而可以看成是第2列的各元素去乘第3列各元素的代数余子式,由推论可知它为0,从而所求的值为0。例5此行列式的结构特点:①第1行全为1;将它们连乘。具体如下:第i列减去第1列有n-1项:;第i列依次类推,第n列减去第n-1列只有。范德蒙德行列式③结论指的是,后列的元素减去前列的元素,共有项,然后减去第2列有n-2项:1项:②形式:
5、按升幂排列从零排到n-1,幂指数成等差数列;习作题解将行列式的第四行与第一行调换,再将行列式的第二行和第三行调换,得解本题虽然第一行元素为1,但后行与前一行比不相同,但它还是有范德蒙德行列式的影子,看能否通过一些变化能否变成范德蒙德行列式。若从第i()行中提取公因子,第1列全为1,即例7计算小结(行列式的求法)(一)利用行列式的性质将行列式化为三角行列式法(造零法)(二)行(或列)和相等的行列式计算(三)三条线的行列式的计算(爪子形:去爪子)(四)递推公式法(七)升阶法(加边法)(六)范德蒙行列式法(五)降阶法分块结论、按行(列)展开
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