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1、1.6行列式按行(列)展开§6行列式按行（列）展开利用行列式的性质可求出很多行列式的值，但对某些行列式，若用性质来计算比较复杂，如xy00?000xy?0D=??????;n000?xyy00?0x为此需讨论行列式的按行（列）展开，以低阶行列式表示高阶行列式（即降阶），简化行列式的计算.统计软件分析与应用线性代数A1.6行列式按行(列)展开例如aaa111213=aaa+aaa+aaaaaa112233122331132132212223−aaa−aaa−aaaaaa112332122133132231,
2、313233=a(aa−aa)+a(aa−aa)11223323321223312133+a(aa−aa)1321322231aaaaaa222321232122=a11−a12+a13aaaaaa323331333132统计软件分析与应用线性代数A1.6行列式按行(列)展开一、余子式(cofactor)与代数余子式(algebraiccofactor)在n阶行列式中，把元素a所在的第i行和ij第j列划去后，留下来的n−1阶行列式叫做元素aij的余子式，记作Mij.()i+ja记A=−1M，叫做元素的代数
3、余子式．ijijijaaaa11121314aaa111214aaaa21222324例如D=,Ma23=31a32a34,aaaa31323334aaa414244aaaa4142434423+AM=−()1.=−M232323统计软件分析与应用线性代数A1.6行列式按行(列)展开二、行列式按行（列）展开法则引理引理::如果在n阶行列式D=det(aij)中，第i行所有元素除a外都为零，则行列式等于a与它的代数ijij余子式A的乘积，即D=aA.ijijij定理定理3:3:行列式等于它的任一行（列）上的
4、所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即D=det(aa)=+AaA+?+aA,(1in=,?,)iji11ii2i2inin及D=det(aa)=+AaA+?+aA,(1j=,?,n)ij11jj2j2jnjnj统计软件分析与应用线性代数A1.6行列式按行(列)展开aa?a11121n????D=aa+00+?+0+++???000+++a证:ii12in????aa?ann12nnaa?aaa?aaa?a11121n11121n11121n????????????=a00?+00a?++?00?ai
5、1i2in????????????aa?aaa?aaa?ann12nnnn12nnnn12nn=+aAaA+?+aA,(1in=,2,?,)i11ii2i2inin统计软件分析与应用线性代数A1.6行列式按行(列)展开推论推论::行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即aA++aA?+aA=0,()i≠jij11i2j2injn及aA11ij+a2iA2j++?aniAnj=0,()i≠j从而对n阶行列式D=det(a)有ijn⎧D,,当ij=n⎧D,,当ij=∑aA
6、ikjk=⎨∑aAkikj=⎨k=1⎩0,当ij≠;k=1⎩0,当ij≠;⎧1,当，ij=nn若记δij=⎨则∑aAikjk=Dδij,∑aAkikj=Dδij⎩0,当ij≠,k=1k=1统计软件分析与应用线性代数A1.6行列式按行(列)展开说明:在计算行列式时，经常将性质与展开法则结合使用：一般先用性质使行列式中的某一行(列)中除某个元素外，其余全化为0，再进行展开；或取0元素较多的行(列)进行展开.31−12−−5134例:D==?=40201−115−3−3110011k0例:讨论当k为何值时,≠0
7、.00k2002k解：左边=−(1kk)(−2)(k+2)统计软件分析与应用线性代数A1.6行列式按行(列)展开xy00?000xy?0按或cr展开11例:D=??????n000?xyy00?0xxy?00y00?000x?0xy?00x⋅−(1)11+?????+⋅y(1−)n+1?????00?xy00?y000?0xn−1阶00?xyn−1阶nn+1n=+x(1−)y统计软件分析与应用线性代数A1.6行列式按行(列)展开011?11123?n112?n−1rr−01−x1?11ii+1例:D=11
8、xn?−2001−x?11in=1,?,−1???????????000?1−x111xx?11xx?x11?1111−x?11按展c开rrii−+11n+1(1−)01−x?11in=1,?,−2?????x00?0010−xx?0000?1−x1n−1阶01−xx?00n+1nn+−12(1−)=−(1)x??????000?x0000?1−x1n−1阶统计软件分析与应用线性代数A1.6行列式按行(列)展开例：范德蒙德(V
