行列式按行展开.ppt

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1、第三节行列式按行（列）展开第一章行列式例如一、余子式与代数余子式在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作叫做元素的代数余子式．例如引理一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．例如证当位于第一行第一列时,即有又从而再证一般情形,此时得得中的余子式故得于是有定理３行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即证二、行列式按行（列）展开法则例1证用数学归纳法例2证明范德蒙德(Vandermonde)

2、行列式n-1阶范德蒙德行列式推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证同理相同关于代数余子式的重要性质例3.已知行列式求：A31+A32+A33＋A34，A31+2A32+3A33＋4A34解：＝＝＝0例4计算行列式解按第一行展开，得例5计算行列式解二、k阶子式及其余子式和代数余子式在n阶行列式D中任选k行k列，位于这k行k列的交叉点处的k2个元素按原来的位置组成的k阶行列式M叫做D的一个k阶子式。在D中划去M所在的行与列，剩下的元素按原来的位置组成的n-k子式

3、N叫做M的余子式。设M所在的行数与列数依次为i1

4、的项，符号也相同。那么，MN或者说D1的每一项与D有什么差别？i1行i2行ik行J1列J2列Jk列其中，i1

5、的关系如何？即MN的项乘以与D的项符号也相同又所以，MA的每一项都是D的一项Laplace定理M是k!项，A是(N-k)!项，所以MA是k!(n-k)!项等式右边是tk!(n-k)!=n!项和，其中每一项都是行列式D的项等式左边行列式D是由n！项的和构成。所以等式成立。例6计算行列式解：按2，4行展开，只有三个2阶子式不为0对应的代数余子式为＝－7例7证明1.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.三、小结3.Laplace定理