线性代数课件14行列式按行列展开.ppt

《线性代数课件14行列式按行列展开.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第四节行列式按行（列）展开定义6：在n阶行列式中，选定k行k列，将位于这些行列相交处的元素按原来的相对位置排成一个k阶行列式N，称N为原行列式的一个k阶子式。把N所在的行、列划去，剩下的元素按原来的相对位置也构成一个n–k阶行列式M，称M为N的余子式。如果N所在的行、列分别为，则称为N的代数余子式。例四阶行列式D中，我们选定第一、二两行和第二、四两列，则得二阶子式N。再从D中划去第一、二两行和第二、四两列得余子式M，进一步，N的代数余子式例：计算下面三阶行列式第二列元素的代数余子式下面我们首先观测三阶行列式的展开式与代数余子式的关系322311332

2、1123122133221133123123322113332312322211312113aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD---++==)()()(312232211331233321123223332211aaaaaaaaaaaaaaa-+---=323122211343331232112333322322112)1()1()1(aaaaaaaaaaaaaaa-+-+-=131312121111AaAaAa++=容易看出行列式的值等于第一行元素与它们对应的代数余子式乘积之和，于是我们可以得到下面的定理。定理2：n阶行列式D

3、等于它的任意一行（列）所有元素与它们对应的代数余子式的乘积之和，或即例1：计算四阶行列式解：可以选任意一行或一列展开，注意到第二行有两个元素为零，所以展开计算时只需要计算两个三阶代数余子式，因此选第二行进行展开，得第i行乘以加到第i+1行每列依次提出公因子，得到以此类推，可以得到行列式的值定理3：行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即推论：如果n阶行列式的某两行（第i行与第j行）对应元素相同，则行列式的值等于零。定理4（Laplace展开定理)：在行列式D中任意取k（1kn－1）行，则由这k行元素所组成的

4、所有k阶子式与它们的代数余子式乘积之和等于行列式D.例：计算行列式求出它们对应的代数余子式选第一、二两行，则它们所组成的二阶子式共有10个，其中非零子式只有三个，于是，利用Laplace展开定理，得例：计算行列式解：把行列式按第一行展开，得再将第二个行列式按第一行展开，可得：注意第一个行列式是n-1阶，第二个是n-2阶，有：注意这是一个递推公式，递推的首项，也就是一阶和二阶行列式的值分别为：