行列式按行列展开.ppt

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1、1.6行列式按行（列）展开返回学习目的：降阶法计算高阶行列式例如可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。一般，将高阶行列式转化为低阶行列式后，计算会更简便。问题：一个n阶行列式是否可以转化为若干个n－1阶行列式来计算？定义1：在n阶行列式中，把元素所在的第i行和第j列划去后，余下的n－1阶行列式叫做元素的余子式。记为称为元素的代数余子式。例如：例1解:求出行列式行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即定理1：证明：（先特殊，再一般）分三种情况讨论，我们只对行来证明此定理。(1)假定行列式D的第一行除外都是0。由行

2、列式定义，D中仅含下面形式的项其中恰是的一般项。所以，(2)设D的第i行除了外都是0。把D转化为(1)的情形把D的第行依次与第行，第行，······，第2行，第1行交换；再将第列依次与第列，第列，······，第2列，第1列交换，这样共经过次交换行与交换列的步骤。由性质2，行列式互换两行（列）行列式变号，得，(3)一般情形证毕。例如，行列式按第一行展开，得利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三

3、阶或二阶行列式。计算高阶行列式的方法例1:计算行列式练习：用降阶法（按行按列展开）计算行列式的值。=57利用性质及展开定理计算行列式的例题：例1：按第二列展开按第二行展开例2：行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即推论：证明：由定理1，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和。在中，如果令第i行的元素等于另外一行，譬如第k行的元素则，第i行右端的行列式含有两个相同的行，值为0。综上，得公式在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式，并不一定简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n－1）阶行列式的

4、计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理在理论上是重要的。例2:证明范德蒙德(Vandermonde)行列式证明：用数学归纳法(1)当n=2时,结论成立。(2)设n－1阶范德蒙德行列式成立，证n阶也成立。n-1阶范德蒙德行列式证毕。