行列式按行列展开精选文档课件.ppt

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1、上次课复习一、行列式的性质及其推论性质1行列式转置，其值不变.根据性质1，行所具有的性质列也同样具有.交换行列式的两行，其值变号.（列）性质2推论如果行列式中有两行（列）对应元素相同，则此行列式为零.性质3用数乘以行列式的某一行（列），等于用数乘此行列式.即推论如果行列式有两行（列）对应元素成比例，则行列式的值为0.性质4如果行列式D的某行（列）每个元素都是两个数之和，则这个行列式可以写成两个行列式之和，这两个行列式分别以这两个数为对应位置上的元素，其余元素均与D相同.即推广：性质5将行列式的某一行（

2、列）的每个元素都乘以同一常数后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变．即1.若行列式第一列第一个元素为零，先把第一行（列）与其他某一行（列）交换，使第一列第一个元素不为零；若第一列第一个元素非零，则直接到下一步。2.将第一行分别乘以适当的数加到其它各行，使第一列除第一个元素外其余元素全为零。3.用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式。4.依次下去，直至使它成为上三角形行列式。这时主对角线上元素的乘积就是行列式的值。把一般行列式化成上三角形行列式的一般步骤：例如计算解：=8把一般

3、行列式化成上三角形行列式的一般步骤：§1.4行列式按行(列)展开一.展开定理二.利用展开定理计算行列式三.展开定理的推论可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式来简化计算.那么对于一个一般的n阶行列式，它能不能转化成一些n-1阶行列式来计算呢？一.展开定理定义在n阶行列式中，把元素所在的第i行和第j列划去后，的余子式.记为称为元素的代数余子式.例如：1.余子式与代数余子式余下的n－1阶行列式叫做元素行列式第一行各元素的代数余子式分别为：行列式D等于它的任一行（列）的所有元素与其对应的代数余子式乘积之

4、和，即定理2.行列式按行（列）展开定理例如：按第一行展开按第二行展开在行列式的某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理可以简化运算；若每一行或列含有的零都不多，则可先使用性质使得某一行或列含有较多的零，然后再展开.如：（降阶法）例1二.利用展开定理计算行列式例2计算四阶解范德蒙行列式因此四阶范德蒙行列式的值为推广：n阶范德蒙行列式的值为例3求证左边==右边证：推广：例4s行D的第i行元素与第s行对应元素代数余子式乘积之和为三.展开定理的推论i行展开定理及其推论可统一写成以下形式：推论：行列式D中某一

5、行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和为零小结1.余子式与代数余子式定义在n阶行列式中，把元素所在的第i行和第j列划去后，的余子式.记为余下的n－1阶行列式叫做元素称为元素的代数余子式.行列式D等于它的任一行（列）的所有元素与其对应的代数余子式乘积之和，即定理2.行列式按行（列）展开定理3.利用展开定理计算行列式在行列式的某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理可以简化运算；若每一行或列含有的零都不多，则可先用性质使得某一行或列含有较多的零，然后再展开.4.n阶范德蒙行列式的值为展

6、开定理及其推论可统一写成以下形式：推论：行列式D中某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和为零5.展开定理的推论作业：P5410（3）练习：用降阶法求谢谢！