第3节-行列式按行列展开ppt课件.ppt

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1、第三节行列式按行列展开可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。1、行列式按某一行（列）展开1问题：一个n阶行列式是否可以转化为若干个n－1阶行列式来计算？在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作叫做元素的代数余子式．例如定义2注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式。3三阶行列式D等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即第一张幻灯片D=或简写为4引理一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那末这行列式等于与它的代数余子

2、式的乘积，即．例如5证当位于第一行第一列时,即有又从而在证一般情形,此时6得7得89中的余子式10故得于是有11定理3行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即证1213推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证14同理相同该行列式中有两行对应元素相等.15关于代数余子式的重要性质#25.幻灯片2516综上，得公式在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n－1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行

3、列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理在理论上是重要的。17利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式。(降阶法）按行（列）展开法（降阶法）先利用行列式的性质将某行（列）尽可能较多地消成零，（最好只有一个非零元素），再按该行（列）展开18例1注意：1、尽量选择1或-1所在的行或列，2、尽量选择0多的行列。1920按第二

4、列展开按第二行展开思考练习21例2计算行列式解2223用降阶法（按行按列展开）计算行列式的值。=57思考练习24例3已知4阶行列式解(方法1)(方法2)利用行列式的按列展开定理，简化计算.它是D中第2列元素与第4列元素的代数余子式的乘积之和，故有25例4计算n阶行列式解解26例5计算行列式Hessenberg型行列式，可直接展开得到递推公式，也可利用行列式性质化简并降阶。27解按第一列展开28递推法递推公式29练习Hessenberg型行列式将第1，2，…，n-1列分别加到第n列3031例6:证明范德蒙德(Van

5、dermonde)行列式32证明：用数学归纳法(1)当n=2时,结论成立。(2)设n－1阶范德蒙德行列式成立，往证n阶也成立。33n-1阶范德蒙德行列式34证毕。35（考虑范德蒙德行列式）362、拉普拉斯定理定义：在n阶行列式D中，任意选取k行k列（k≤n），位于这些行列交叉点上的元素，按照原来的排列顺序组成一个k阶行列式，称为行列式D的一个k阶子式，记为N。在D中划去这k行k列后余下的元素按照原来的排列顺序所组成一个n-k阶行列式，称为k阶子式N的余子式，记作M。若k阶子式在行列式D中的行标为为N的代数余子式。

6、列标为，则称37若选取第1行、第3行、第1列、第4列，就确定一个二阶子式。二阶子式N的余子式为二阶子式N的代数余子式为38定理4在n阶行列式D中任取k行（1≤k≤n），由这k行元素组成的所有k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D的值，即有在拉普拉斯公式中，令k=1即为行列式按一行展开的公式。39例7计算行列式解40作业：P2910（3）8（4）41思考题:求第一行各元素的代数余子式之和解:第一行各元素的代数余子式之和可以表示成42