工程力学基础 教学课件 作者 徐博侯 第10章 杆件稳定性.ppt

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1、常见的失稳的例子(c)承受静水压力的圆拱(b)板条或工字梁弯曲(a)细长杆受压第10章杆件稳定性10.1稳定性概念定义10.1设结构处于某一平衡状态，受到微小扰动后稍微离开原平衡位置。则当扰动辙消时,如果结构能回到原来位置，称为稳定平衡状态。如果结构继续偏离，不能回到原来位置，则称为不稳定平衡状态。介于稳定平衡与不稳定平衡之间的过渡平衡，称为临界平衡状态，简称临界状态。第10章10.1稳定性概念判断定理10.1设为保守系统的总势能，u是结构的位移函数，则其平衡点必定满足，并且(1)对于任意,，则必定是稳定的平衡点。(2)至少存在一个非零的，使得，则必定是不稳定平衡点。(3)对于任意

2、，，并且至少有一个非零的使得不等式中的等号成立，则必定是系统的临界平衡点。判断定理10.2对于一个保守系统来说，平衡点稳定的充要条件是使得总势能取严格最小值。结构失稳的两种基本形式：分支点失稳和极值失稳。10.1.1分支点失稳如图所示，a为简支杆的完善体系或理想体系。第10章10.1稳定性概念a)b)随着压力F的增加，则压力F和中点挠度A之间的关系如图b所示。当时，压杆单纯受压，不发生弯曲。当时，有两个可能平衡点C和D。C为不稳定的平衡点。D是一稳定平衡点。第10章10.1稳定性概念a)b)第10章10.1稳定性概念a)b)10.1.2极值点失稳如图(a),(b)所示分别为具有初始

3、曲率的压杆和承受偏心载荷的压杆，都称为压杆的非完善体系,其失稳与完善压杆不同。在极值处，平衡路径由稳定转为不稳定，这种失稳形式称为极值点失稳。(a)(b)（c）第10章10.1稳定性概念例10.1如图所示为一刚性压杆(不变形)，承受中心压力为F，底端A为铰支座，顶端B有弹簧系数为k的水平弹簧支承。求曲线及临界载荷。第10章10.1稳定性概念解：现考虑倾斜位置是否还存在新的平衡状态。写出水平的平衡条件(a)方程有两个解为原始平衡状态(Ⅰ),另一解为是新的平衡路径(Ⅱ)，分支点A将原始平衡路径Ⅰ分成两段：前段OA上的点属于稳定平衡，后段AB属于不稳定平衡。新的平衡路径Ⅱ上，也属于不稳定

4、平衡。现在按小挠度理论分析。将平衡方程中位移分量按小量线性化处理。代入方程(a)得,(b)两个平衡态为前者时原始平衡状态，后者是新的平衡状态。如图所示例10.2考虑如图(a)的单自由度非完善体系，刚性杆AB有初倾角。解：在图(b)中，平衡条件(水平方向)为（a）　（b）(a)(b)第10章10.1稳定性概念对于不同的，曲线画在图(c)上。求,解得代入(b)得到极值载荷为初倾角越大，临界载荷就越小。现用小挠度理论。设，从而式(b)得对于所有的，上述的曲线均是以F=kl作为渐近线，曲线无极值。(c)10.2稳定性分析方法确定临界载荷的基本方法：(1)根据临界状态的静力特征而提出的方法，

5、称为静力法。(2)根据临界状态的能量特征而提出的方法，称为能量法。第10章10.1稳定性概念10.2稳定性分析10.2.1静力法静力法是针对变形后的结构新位置写出的平衡方程，应用小挠度理论，在平衡方程中要考虑主要力因几何位置的变化而引起的小量变化。静力法的要点是在原始平衡路径Ⅰ外寻找新的平衡路径Ⅱ，以确定两者的交叉点。第10章10.1稳定性概念10.2稳定性分析例10.3如图所示，AB为刚性压杆，底端A为弹性支撑，其转动的刚度系数为k,求临界载荷。（a）　　（b）（c）第10章10.1稳定性概念10.2稳定性分析解：AB上作用两个主动力(偶):B点的力F和A点的弹簧反力F是主要力，

6、是次要力。由平衡可得即从而，为原始路径Ⅰ，为新平衡路径Ⅱ，其交点为临界载荷。10.2.2能量法稳定性问题的出现是由于整个结构总势能的正定性破坏所造成的，所以只要讨论正定性破坏的条件，就可得所需的临界载荷。(1)从，或有非零解存在可以得到临界载荷的值。(2)一般考虑小应变，大变形问题。所以应变能可以按原来的公式计算，外力势能则要按变形后的位置计算。第10章10.1稳定性概念10.2稳定性分析例10.4用能量法计算临界载荷。解：A点弹簧的弹性势能为当AB转过角度时，外力F沿x方向移动了第10章10.1稳定性概念10.2稳定性分析外力势能F的势能为总势能为由可得从其非零解条件可得对外力F

7、势能可用另一方法计算。由于系统的广义位移为，所以当增加到时，F所做的功为由外力势能的定义可得计算外力势能有两种方法：(1)将外力对应的广义位移用系统的广义位移表示出来，然后与外力直接相乘加负号。(2)将外力表示成与系统广义位移向对应的广义力，然后让其直接在系统的广义位移上做功。这两种方法得到的结果应当是一致的。第10章10.1稳定性概念10.2稳定性分析例10.5如图所示，由三根相同的刚性杆组成的系统，一端作用外力F,铰结处B、C都是弹性系数为k的弹性支座。试用两种方