工程力学基础 教学课件 作者 徐博侯 第9章 弹性杆件的拉格朗日方程.ppt

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1、2.讨论的为连续系统，“下标”变量可以取连续值。3.运用微积分中的分割－求和－求极限的方法，将拉格朗日方程由有限自由度系统推广到连续系统即无限自由度的系统上去。1.第8章介绍了有限自由度的拉格朗日方程，本章将介绍无限自由度的力学问题。本章讨论的内容与第8章的变化：第9章弹性杆件的拉格朗日方程9.1连续系统的拉格朗日方程9.1.1直杆的纵向运动杆的纵向运动:将杆近似为质量一弹簧系统计算该系统的拉格朗日函数动能势能分成两部分：质点间弹簧的势能外力势能第9章9.1连续系统的拉方程该离散系统的拉格朗日函数为由第二类拉格朗日方程可得由x=0处边界条件可得(9.1)(9.

2、2)第9章9.1连续系统的拉方程当时，式(9.1)和(9.2)有式中上式代入式（9.1）和式（9.2）（9.4）中第一式为杆的纵向运动方程,第二式为x=a处所需满足的条件。(9.3)(9.4)第9章9.1连续系统的拉方程式(9.4)通称为拉格朗日函数(9.3)的第二类拉格朗日方程。由x=0处条件可得及初值条件这样式(9.4),式(9.5)和式(9.6)构成直杆纵向运动的完整的定解问题。(9.5)(9.6)第9章9.1连续系统的拉方程连续系统的拉格朗日函数式(9.3)可以写为T表示动能V表示势能所以对连续系统来说，可以直接从式（9.7）求得系统的拉格朗日函数L。

3、问题是：如何利用式（9.7），直接导得连续系统的第二类拉格朗日方程（式（9.4））?(9.7)第9章9.1连续系统的拉方程将第二类拉格朗日方程(式(8.20))写成等价的变分形式(9.8）(9.9)第9章9.1连续系统的拉方程现在考虑连续系统。将式(9.3)写成式中称为系统的拉格朗日密度函数，从而相当于式(9.9)中的。第9章9.1连续系统的拉方程假定式(9.9)对连续系统也成立，则可接导出第二类拉格朗日方程(9.10)第9章9.1连续系统的拉方程将积分号下的被积函数中的均看成是的函数，从而这样式中的同理类似地，第9章9.1连续系统的拉方程代入式(9.10)得

4、由在(0,l)上的任意性，立即得到在x=a上的任意性第9章9.1连续系统的拉方程从以上可以得到两点重要结论：(1)连续系统的拉格朗日函数可以表示成动能和势能的差；(2)连续系统的第二类拉格朗日方程，可以从与其等价的变分形式出发导出，式中l是拉格朗日密度函数。(9.11)第9章9.1连续系统的拉方程9.1.2杆的横向运动考虑欧拉－贝努利梁。对于梁的位移引入如下的假定：(1)梁的中心线上点只有横向运动，从而可以用挠度函数来描述；(2)在变形或运动中，垂直于粱中心线的平面只有刚体运动：即只有沿横向运动的平动和绕中心的转动，并且转角。第9章9.1连续系统的拉方程在x=

5、a处固定，x=0处作用已知弯矩和剪力；沿着梁的轴线作用密度为分布力。由寇尼格定理，长度为a的梁的动能为A为横截面积，I为截面关于中心线z=0的惯性矩。A,I假定为常数。按照上述假定，可以计算梁的动能和势能。假定考虑的梁如图所示：第9章9.1连续系统的拉方程势能分为两部分，杆的应变能和外力势能：这里忽略了剪切应变能，只考虑弯曲应变能，拉格朗日函数为这里l为拉格朗日密度函数B为与边界有关力的势能值(负值）式中(9.12)第9章9.1连续系统的拉方程设想将连续系统离散化，用在x方向的差商来代替，则与式(9.9)相当的连续系统的拉格朗日方程的变分形式为用式(9.13)

6、推导梁横向运动的第二类拉格朗日方程(9.13)(9.14)第9章9.1连续系统的拉方程所以运动方程为边界条件可从下列方程得到(9.15)(9.16)第9章9.1连续系统的拉方程方程式(9.15)和式(9.16)具有相当的普遍性，可以包括满足欧拉－贝努利假定的各种情况。对于本段一开始提出的问题，把式(9.12)代入式(9.15)和式(9.16)，即得再加上x=l处的边界条件和相应的初值条件，则构成梁振动的完整的定解问题。(9.17)(9.18)第9章9.1连续系统的拉方程9.1.3连续系统的小结直接由连续系统的拉格朗日函数求得第二类拉格朗日方程，具体做法：(1)

7、选择广义位移函数。(2)写出拉格朗日函数。(3)根据拉格朗日密度函数直接写出拉格朗日方程的变分形式。第9章9.1连续系统的拉方程例9.1若某杆件的拉格朗日密度函数具有下列形式这里是彼此独立的广义位移。写出相应的拉格朗日方程的变分形式。解：与时间导数有关的项为所以相应的拉格朗日方程的变分形式为第9章9.1连续系统的拉方程(4)从拉格朗日方程的变分形式导出第二类拉格朗日方程。(5)第二类拉格朗日方程所代表的意义第二类拉格朗日方程包括两部分：控制方程(动力学方程)和边界条件，代表某一个广义力的平衡。第9章9.1连续系统的拉方程例9.2为了考虑粱的剪切效应,我们在欧拉

8、一贝努利的假定中修改一点，即直法线在变