工程力学基础 教学课件 作者 徐博侯 附录C_实对称矩阵.ppt

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1、附录C实对称矩阵C.1实对称矩阵一个n阶实方阵,如果满足（C.1）则称矩阵为实对称矩阵，简称为对称矩阵（C.1）式可以等价地化为附录C实对称矩阵C.1实称矩阵例C.1二次型函数（C.2）是由变量的二次项组成的函数，称为二次型函数。写成矩阵形式：（C.3）附录C实对称矩阵C.1实称矩阵将式（C.3）展开与式（C.2）比较可得从而是对称矩阵。对于n维空间上任一n阶矩阵B和二次型则A为对称矩阵，并且例C.2二阶微分的表示对于n元函数其泰勒（Taylor）展开的微分形式为附录C实对称矩阵C.1实称矩阵在驻点有，从而该驻点的极大极小性质将由决定，也就是二阶偏导数所组成的矩阵G所决定。附录C实对称矩

2、阵C.1实称矩阵例C.3一点的应力状态物体受外力作用后，其内部将发生内力，移去的部分所作用的应力（单位面积上的内力）沿坐标轴分解（见图）成九个分量排成3X3矩阵我们称为一点的应力状态或应力张量。由切应力互等定理可知这是一个对称矩阵（C.7）附录C实对称矩阵C.1实称矩阵例C.4柔度矩阵和刚度矩阵我们来考虑没有刚体运动的线性弹性体。如果在这弹性体上同时作用个广义力：，其对应的广义位移为。由线性性可知式中称为柔度系数如果令则式（C.8）可以写成（C.8）（C.9）附录C实对称矩阵C.1实称矩阵例C.5度量矩阵设n维空间中有一组基，则任一n维矢量都可以写成这组基下的坐标形式利用标量积的性质（C

3、.11）式中附录C实对称矩阵C.1实称矩阵C.2正交矩阵三维空间正交矢量：n维空间：定义n维空间中矢量之间夹角C.2正交矩阵（C.13）两矢量正交定义为（C.15）附录C实对称矩阵C.1实称矩阵正交矩阵给定一个阶方阵，将这方阵的每一列都视为某一矢量在上述标准正交基下的坐标：如果这n个矢量彼此正交，且本身长度为1，即则矩阵A称为正交矩阵。（C.16）（C.17）C.2正交矩阵附录C实对称矩阵C.1实称矩阵A是正交矩阵的充分必要条件为（C.18）从而正交矩阵的逆就是它的转置正交矩阵的每一行矢量也是正交的，且本身的长度为1。C.2正交矩阵附录C实对称矩阵C.1实称矩阵正交矩阵的性质●单位阵Ｉ是

4、正交矩阵。任意两个（同阶）的正交矩阵的乘积仍为一正交矩阵。●正交矩阵的行列式值必为1或一1。C.2正交矩阵附录C实对称矩阵C.1实称矩阵例C.6旋转矩阵设在维线性空间中给定一组标准正交基，现在对整个坐标系进行任意的转动，这一组基变成新的基可以用原来的基线性表示利用之间的正交性和归一性（即单位长）可知，坐标变换旋转矩阵是正交矩阵C.2正交矩阵附录C实对称矩阵C.1实称矩阵C.3对称矩阵的特征值性质A的特征值问题描述:C.3对称矩阵的特征值性质如果代数方程有非零解。这样的　称为特征值，而相应的非零解x（可差任一非零倍数）称为与对应的特征矢量。求解特征值即是求解n次实系数的代数方程：C.2正交

5、矩阵附录C实对称矩阵C.1实称矩阵定理C.l设A是阶实对称的矩阵，则（1）A的特征值必定为实的。（2）对应不同特征值的特征矢量彼此正交。（3）存在n个彼此正交的特征矢量。C.3对称矩阵的特征值性质C.2正交矩阵附录C实对称矩阵C.1实称矩阵A的对角化设A的n个特征值和特征矢量为记则如果所有的特征矢量彼此正交且长为1，则Q为正交矩阵。C.3对称矩阵的特征值性质C.2正交矩阵附录C实对称矩阵C.1实称矩阵推论C.1存在正交矩阵Q，使得这里是对角阵。将定理的结果用到例C.1~3上去。对于例C.1取，则C.3对称矩阵的特征值性质C.2正交矩阵附录C实对称矩阵C.1实称矩阵矩阵A正定：所有的特征值

6、矩阵A半正定:当所有矩阵A负定的:当所有矩阵A半负定的:当所有C.3对称矩阵的特征值性质C.2正交矩阵附录C实对称矩阵C.1实称矩阵对于例C.2如果G是正定的,则当且仅当时等号成立,这时的驻点（）为严格极小点。如果G是负定的，则驻点值必定是严格极大的。如果G半正定的，则为稳定性的临界状态。C.3对称矩阵的特征值性质C.2正交矩阵附录C实对称矩阵C.1实称矩阵对于例C．3中的应力张量若坐标系取方向，则其对应这些方向只有正应力，而没有切应力，这些方向称为这点的应力的主方向，称为相应的主应力（见5.1节）。C.3对称矩阵的特征值性质C.2正交矩阵附录C实对称矩阵C.1实称矩阵例C.7考虑附录B

7、中的惯性矩和惯性积所构成的实对称矩阵（惯性矩阵）考虑其坐标转动引起的变换很明显，坐标变换矩阵Q是正交矩阵。将（b）代入得这里为新坐标下的惯性矩阵，可写成（b）（a）C.3对称矩阵的特征值性质C.2正交矩阵附录C实对称矩阵C.1实称矩阵相应的主惯性矩可以从下面的特征方程求得，这里是单位阵。展开多项式为解得的两根与（B.15）完全一样。以上结果可以扩充到三维惯性矩阵上去，见附录B。C.3对称矩阵的特征值性质C.2正交矩阵附录C实对称矩阵