工程力学基础 教学课件 作者 徐博侯 第11章 振动理论初步.ppt

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1、模型与方程无阻尼自由振动有阻尼自由振动受迫振动等效质量、等效刚度和等效阻尼隔振11.1单自由度振动第11章振动理论初步第11章振动基础§11.1单自由度振动振动及其相关概念振动外界的某种因素，引起物体或结构在其平衡位置附近的运动，称之为振动。即如图：激励指引起振动的某种外界因素，一般是随时间变化的力。响应指在平衡位置附近的运动。系统指振动的物体或结构。系统输入输出（激励）（响应）第11章振动基础§11.1单自由度振动振动问题的分类振动分析在输入与系统特性已知的情况下，求系统的响应。振动环境的推测在系统特性与响应已知的情况下，来反演系统的激励。振动特性的测定（系统识别）在激励与响

2、应已知的情况下，来确定系统的特性；或者说在一定激励条件下，来设计系统的特性，使系统的响应满足给定条件。第11章振动基础§11.1单自由度振动振动的分类（按系统的特性）线性系统描述系统运动的微分方程为线性微分方程的系统。非线性系统描述系统运动的微分方程为非线性微分方程的系统。线性振动线性系统的振动的简称。第11章振动基础§11.1单自由度振动振动的分类（按输入的特性）自由振动指激励撤除后的振动。受迫振动指系统在外界激励下的振动。如果输入是随机的振动，称为随机振动。第11章振动基础§11.1单自由度振动11.1.1单自由度振动模型图11.1单自由度振动模型如图的典型振动模型由质量块

3、m、线性弹簧k和粘性阻尼器c三部分组成，求质量块运动方程。系统的动能、势能和拉格朗日函数为根据第二类拉格朗日方程(11.3)第11章振动基础§11.1单自由度振动(11.4)振动方程固有频率振动方程通解11.1.2无阻尼自由振动条件为第11章振动基础§11.1单自由度振动简谐振动方程振幅初相位振动周期(11.6)(11.7)(11.8)当初始条件为第11章振动基础§11.1单自由度振动无阻尼自由振动的机械能变化无阻尼自由振动的机械能守恒在整个运动过程中系统的动能与势能不断进行交换：当动能最小时，势能最大；当势能最小时，动能最大。证明：由于两边乘上即从而第11章振动基础§11.1

4、单自由度振动振动方程相对阻尼系数ζ（量纲为1）(11.12)11.1.3有阻尼的自由振动方程（11.12）有两个特征根条件为第11章振动基础§11.1单自由度振动三种阻尼状态图11.2三种阻尼状态第11章振动基础§11.1单自由度振动(1)过阻尼状态这时和是两个不同的负实根。令则式(11.12)的通解为式中、决定于初始条件，：，从而系统的响应为(11.13)这是一种按指数规律衰减的非周期运动(图11.2)。第11章振动基础§11.1单自由度振动(2)临界阻尼状态()这时，方程(11.12)的通解为取上述同样的初始条件则有(11.14)这仍是一种按指数规律衰减的非周期运动，它比过

5、阻尼状态衰减得快，见图11.2。第11章振动基础§11.1单自由度振动(3)欠阻尼()的状态的衰减振动欠阻尼情况也可以写成:这是一种响应振幅按指数规律衰减的简谐振动,称为衰减振动。(11.16)第11章振动基础§11.1单自由度振动周期增加当减幅系数η对数减幅系数δ(11.17)第11章振动基础§11.1单自由度振动简谐激励周期激励任意激励(11.28)(11.27)11.1.4受迫振动（按激励分类）第11章振动基础§11.1单自由度振动(1)简谐激励（无阻尼系统）图11.4简谐振动如图所示，质量块运动方程为其通解可写成:设初始条件为解得有:(11.18)(11.19)这里第1

6、1章振动基础§11.1单自由度振动图11.4简谐振动实际上阻尼力不可避免，在有阻尼情况下式(11.19)中前三项会消失，则：第11章振动基础§11.1单自由度振动当时，,当时，，当时，，振动分析图11.5动力响应系数最大位移接近静位移。即激励方向变换过快，质量块几乎停住不动。称之为共振。动力放大系数为第11章振动基础§11.1单自由度振动系统中的能量变化将方程(11.18)两边乘以E是系统的总机械能。当上式右边在长时间段上积分为有界值,所以E也有限。当上式右边只剩最后一常数项,积分必趋向无限,E也趋向无穷。第11章振动基础§11.1单自由度振动图11.4简谐振动简谐激励下有阻尼

7、系统运动方程为(11.20)假设复数满足方程：(11.21)从而方程(11.20)的解可以写成：式中第11章振动基础§11.1单自由度振动(11.22)假定,式(11.21)变成从而解得第11章振动基础§11.1单自由度振动幅频图图11.6(a)幅频图振幅放大因子η(11.23)幅频图不同阻尼系数下频率和振幅因子之间的关系曲线图。复频率响应H(ω)第11章振动基础§11.1单自由度振动相频图简谐激励阻尼系统运动方程稳态解（即特解）(11.24)相频图频率和相角之间的曲线图。图11.6(b)相