2018年西城二模数学理科

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西城区高三模拟测试数学（理科）2018.5第I卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.若集合A={x10O”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件8.在直角坐标系xOy+*,对于点(x,y),定义变换<7：将点(兀,y)*变换为点(a,b),使得r=其中(-巴上).这样变y=tanb,22换a就将坐标系xOy内的曲线变换为坐标系aOb内的曲线.则四个函数牙=2兀(x>0),y2=x2(x>0),y3=ex(x>0),儿=lnx(x>l)在坐标系兀Oy内的图象，变换为坐标系dOb内的四条曲线(如图)依次是(A)②，③，①，④(B)③，②，④，①(C)②，③，④，①(D)③，②，①，④第II卷(非选择题共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.己知圆C的参数方程为|x=2+;os'(&为参数)，则圆c的面积为Iy=sin^圆心C到直线/:3x-4y=0的距离为10.(X2+-)4的展开式中尢2的系数是X11.在'ABC中,ZA=-.则cos2B=12.设等差数列心｝的前〃项和为若6/,=1,52>53,则数列他｝的通项公式可以是兀$1,13.设不等式组x+yM3,表示的平面区域为D.若直线at-.y=0上存在区域D上的点，则实数。的取2x+yW5 值范围是•14.地铁某换乘站设有编号为A,B,C,D,E的五个安全岀口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：安全出口编号A,BB,CC,DD,EA,E疏散乘客时间(s)120220160140200则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)已知函数f(x)=(1+tanx)-sin2x.(I)求/⑴的定义域；(II)若ae(0,tc),且fa)=2,求Q的值.16.(本小题满分14分)如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，ABHCDHEF,AB丄AD.CD=DA=AF=FE=2,AB=4・(I)求证：DFH平面BCE； (II)求二面角C-BF-A的余弦值；(III)线段CE上是否存在点G,使得AG丄平面BCF?请说明理由.C 17.（本小题满分13分）在某地区，某项职业的从业考共约&5万人，其中约3.4万人患有某种职业病.为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：（I）求样本屮患病者的人数和图屮b的值；（II）在该指标检测值为4的样本中随机选取2人，求这2人中有患病者的概率;（III）某研究机构提出，可以选取常数X。二〃+0.5（Z7EN-）,若一名从业者该项身体指标检测值大于X。,则判断其患有这种职业病；若检测值小于X。，则判断其未患有这种职业病.从样本小随机选择一名从业者,按照这种方式判断其是否患有职业病.写出使得判断错误的概率最小的X。的值及相应的概率（只需写出结论）.18.（本小题满分14分）已知直线l:y=kx+l与抛物线C：b=4兀相切于点P.（I）求直线/的方程及点P的坐标；（II）设Q在抛物线C上，A为PQ的中点.过人作y轴的垂线，分别交抛物线C和直线/于M,N.记△PMV的而积为/XQAM的面积为S2，证明：S）=S2. 19.(本小题满分13分)已知函数f(x)=—-ax,曲线y=f(x)在x=l处的切线经过点(2,-1).X(1)求实数d的值；(II)设b〉l,求/(x)在区间[-,/?]±的最大值和最小值.b20.(本小题满分13分)数列人：即。2,…，％(心2)的各项均为整数，满足：qN-l(心1,2,•••,/?),且6?1•2"-'+6?2•2"Y+色・2"、'+•••+•2+a”=0,其中坷H0.(I)若“3,写出所有满足条件的数列4；(II)求①的值；(III)证明：G[+^2+…+an>0・ 西城区高三模拟测试数学(理科)参考答案及评分标准2018.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.4.B8.A14.D1.C2.A3.D5.D6.C7.A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9.7T,-10.6512.-n+2(答案不唯一)13•[丄,3]2注：第9题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15.(本小题满分13分)解：(I)因为两数y=tan兀的定义域是{xwR|兀工"+訐wZ},所以/(x)的定义域为{xeRx^kji+—9keZ}.4分2(II)f(x)=(1+tanx)-sin2xn.sinx、c—(1+)•sinLx37Tcos无=sin2x+2sin2x6分=sin2%-cos2^+17分=/2sin(2x-—)+1•48分&由/(cr)=2,得sin(2a-—)=・9分TTTT771因为Ova<兀，所以—v2a—<—,44410分宀*■■尺7T7C4只713tC所以2(x一"=—,或2”一"=—.444411分TlTl解得C^=-,或=-(舍去).13分 42 16.(本小题满分14分)解：(I)因为CDHEF,&CD=EF,所以四边形CDFE为平行四边形,所以DFHCE.……2分因为DFU平面BCE,……3分所以DFH平血BCE.……4分(II)在平面ABEF内，过A作Az丄A3.因为平面ABCD丄平面ABEF,ABCDI平面ABEF=AB,又Azu平面ABEF,Az丄AB,所以Az丄平面A3CD,所以AD丄AB,AD丄Az,Az丄AB.如图建立空间直角坐标系A-xyz.5分由题意得,4(0,0,0),5(0,4,0),C(2,2,0),E(0,3,V3),F(0,M)•所以BC=(2,-2,0),BF=(0,-3弟).2x-2y=0,-3y+a/3z=0.设平面BCF的法向量为n=(兀,y,z),则”疋即.»n・BF=0,令y=],贝0x=1,z=V3,所以n=(l,l,/3).7分平面ABF的一个法向量为v=(1,0,0),8分COS(71,V)=所以二面角C-BF-A的余弦值亜.10分5(III)线段CE上不存在点G,使得4G丄平面BCF,理由如下：11分解法一：设平面ACE的法向量为m=3，开,zJ, m・AC=0,m・AE=0,2坷+2牙=0,3y}+V5z]=0. 13分令>']=1>则X]=-1>z、=-壬,所以tn—(—1,1,—[3).因为mn^O,所以平面ACE与平面BCF不可能垂直，从而线段CE上不存在点G,使得4G丄平面BCF.14分解法二：线段CE上不存在点G,使得AG丄平面BCF,理由如下：11分假设线段CE上存在点G,使得AG丄平面BCF,设CG=ACE,其中壮［0,1］.设G（x2,y2,z2）,则有（X2-2,y2-2,z2）=（-22,2,732）,所以x2=2-22»）勺=2+2,z2=V3/1,从而G（2—2入2+入VLl）,所以忌=（2_2入2+入的2）・13分因为AG丄平面BCF,所以AG//n.m、［右2-222+A所以有==^才，11V3因为上述方程组无解，所以假设不成立.所以线段CE上不存在点G,使得AG丄平面BCF.14分17.（本小题满分13分）34解：（I）根据分层抽样原则，容量为肮的样本中，患病者的人数为叫菇"。人…2分a=-0」0-0.35-0.25-0」5-0」0=0.05,6=1-0.10-0.20-0.30=0.40.4分（II）指标检测数据为4的样本中，有患病者40x0.20=8人，未患病者60x0.15=9人.6分设事件A为“从中随机选择2人，其中有患病者”.(III)—C29则P（A）W为—25所以P(A)=1-P(A)=—34使得判断错误的概率最小的X。=4.5•21仏“时，判断错误的概率为而8分9分11分当13分 18.（本小题满分14分）y=kx+],y2=4x得"+(2—4)x+l=0.依题意，有20,且"（2比一4）2-4宀0・解得"1.所以直线/的方程为y=x+l.将k=1代入①，解得x=1,所以点P的坐标为（1,2）.（II）设。（心），则，4伽，所以川导,字）.依题意，将直线"字分别代入抛物线c与直线/?+223分4分5分7分8分因为|M/V|=(72+2)2nrr-4n+44m-一4/?+4m一n+116216164），)•10分|AM|=21616(8m+8)—(4m+An+4)m-n+1164(8m+8)—(772+4n+4)m+1(n+2)2所以|AM|=|MN|.12分13分又A为PQ屮点，所以P，Q两点到直线AN的距离相等,所以S（=S2.14分19.（本小题满分13分）解：（I）/（兀）的导函数为广（兀）=上也罕竺，2分所以=依题意，有几1）-（-1）=—1-2即a+1=]_q,4分1-2解得a=.5分 1—十—In无(1【)由(I)得f(x)=——・当0VXV1时，1-x2>0,-lnx>0,所以f(x)>0,故/(对单调递增;当x>l时，1—/vo,-lnx<0,所以fx)<0,故/(兀)单调递减.所以/(兀)在区问(0,1)上单调递增，在区间(l,+oo)上单调递减.8分因为0vfvlvb,所以才(兀)最大值为/(1)=-1・9分b设h(b)=f(b)-/(-)=(/?+-)In/;-/7+-,其屮b>l.10分bbb贝|J/7/(Z?)=(l—L)ln/?>o,故/2(b)在区间(l,+oo)上单调递增.11分所以h(b)>/2(1)=0,即f(b)>/4),12分b故/(兀)最小值为/([)=—勿nb—J.13分bb20.(本小题满分13分)解：(I)满足条件的数列4为：一1,一1,6;—1,0,4；-1,1,2；—1,2,0.3分(II)q=-1.4分否则，假设5工-1,因为°]工0,所以d[$l.又°2，如，…$T，因此有a}•2心+陽•2心+•2心+•••+an_}•2+匕32心4-(-1).2-2+(-1).2"-3+...+(-1)-2+(-1)=2“-|_2“-2_2“-彳2-1=1,这与a】•2"-'+ci-,•2"2+偽•+…+•2+a”=0矛盾!所以坷=一1•8分(III)先证明如下结论：/也{1,2,…/一1},必有坷才+^才+…+色旷*。.否则，令aA-2/,_,+a2-2n~2+■••+-T~k>0,注意左式是2“"的整数倍，因此坷・2心+色・2心+・..+色.2""$2".所以有： a】•2"1+a,•2"_+色♦2"3+...+♦2+a” P2小+（-1）•2宀+（-!）•2宀+…+（_i）•2+（_i）■—2”_"i—2〃_R_2这与a】•2"'+cq•2"彳+q・2"3卜•2+cin=0矛盾!10分所以q•2‘t+a2•2n~2+•••+$•2'心W0・因此有：q<0,q・2+①W0,q・4+a?•2+§W0,a〕・2"'+勺•2"~+…+%_]・2+cif.W0,•••q•2n~2+a2-2"-'+…+an_2•2+atl_xW0.将上述n-1个不等式相加得a}•（2”t一1）+$•（2H_2一1）+…13分又q•2"'+砌・2"2+Uy•2"7+…+a”—•2+=0, 两式相减即得q+①+…+an>°•