思法数学： 周末讲义 第5讲 函数的奇偶性及其推广

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1、思法数学高中版（高中一年级上）周末讲义版权所有翻印必究第5讲函数的奇偶性及其推广成都外国语学校刘世华【知识梳理】1，函数奇偶性的概念：定义：对函数的定义域内的任何一个自变量：⑴若都有，则称函数是偶函数；⑵若都有，则称函数是奇函数。点拨：⑴奇函数和偶函数的定义域关于原对称。(2)与的关系：当或时为偶函数；当或时为奇函数。2．函数的奇偶性与图象间的关系：⑴偶函数的图象关于轴对称，反之也成立；⑵奇函数的图象关于原点对称，反之也成立。点拨：在关于原点对称的两个区间上：奇函数具有相同的单调性；偶函数具有相反的单调性。3．结论：⑴若是奇函数且在处有意义，则⑵若是偶函数，则。⑶偶函数偶函

2、数=偶函数；奇函数奇函数=奇函数；偶函数偶函数=偶函数；奇函数奇函数=偶函数；偶函数奇函数=奇函数。4．函数奇偶性的推广：对函数的定义域内的任何一个自变量：⑴若都有，则的图象关于直线对称；若都有，则的图象关于直线对称。⑵若都有，则的图象关于点对称；若都有，则的图象关于点对称。【典例精析】例1．设是定义域关于原点对称的任一函数，试判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）点拨：定义域关于原点对称的任一函数可表示成一个偶函数与一个奇函数的和。5思法数学高中版（高中一年级上）周末讲义版权所有翻印必究例2．判断下列函数的奇偶性：(1)；（2）；（3）。例3．已知函数满足：且，判断函数的奇

3、偶性，并证明你的结论。例4．设函数为定义域为R上奇函数，又当时，试求的解析式。例5．已知函数在上是增函数，又函数是偶函数，比较，，的大小。例6．给定函数。（1）研究函数的性质（定义域，值域，奇偶性，单调性）并作其图象；（2）解关于的方程。5思法数学高中版（高中一年级上）周末讲义版权所有翻印必究【过关精练】一.选择题1．已知函数是偶函数，那么是()A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数2．已知定义域为的函数在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数，都有，那么下列式子一定成立的是（）A．(－1)＜(9)＜(13)B．(13)＜(9)＜(－1)C．(9)＜(－1)＜

4、(13)D．(13)＜(－1)＜(9)3．若奇函数在上是增函数且最小值为5，则在上是()A．增函数且最小值为；B．增函数且最大值为；C．减函数且最小值为；D．减函数且最大值为4．设是定义在上的偶函数，且在上是增函数，已知，那么一定有()A．；B．；C．；D．5．定义在区间的奇函数为增函数；偶函数在区间上的图象与的图象重合，设，给出下列不等式：①;②;③;④其中正确的不等式个数为()A．1；B．2；C．3；D．46．设奇函数在上为增函数，且，则的解集为()A．B．C．D．7．设都是上的奇函数，，则集合=()A．B．C．D．二.填空题8.若函数是偶函数，则。9．若函数是定义在上

5、的奇函数，且在上是增函数，又，则不等式的解集是_____________10．已知是偶函数，且其定义域为，则_____,______三．解答题11．奇函数对任意，都有，求12．已知函数的定义域为，且满足对任意且都有成立，试判定的奇偶性。5思法数学高中版（高中一年级上）周末讲义版权所有翻印必究13．已知函数，若，求的值。14.巳知为奇函数，且。（1）求的值；（2）当时，求的值域；（3）当时，的值域为，求的值.思法语录数学是一个美丽的传说它能给勇敢者以智慧也能给勤奋者以收获只要你懂得他的珍贵呀山高那个路远也能获得…5思法数学高中版（高中一年级上）周末讲义版权所有翻印必究第5讲函

6、数的奇偶性及其推广参考答案【过关精练】一.选择题1．A；2．C；3．B；4．B；5．B；6．C；7．D。二.填空题8．0；9．；10．，0。三．解答题11．解：由得：12．解：令，又令，令，故为偶函数。13．解：易知。14.解：（1）由；（2），，。故的值域为；（3）因1在区间上是减函数，故。5