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时间:2018-08-05
《思科数学第6讲函数的奇偶性》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第6讲 函数的奇偶性 基础梳理1.奇、偶函数的概念一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,如果对于任意的x∈A,都有f(-x)=f(x),那么称函数y=f(x)是偶函数.如果对于任意的x∈A都有f(-x)=-f(x),那么称函数y=f(x)是奇函数.奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称.2.函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反.(2)在公共定义域内①两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数;②两个偶函数的和、积都是偶函数;③一个奇函数,一个偶函数的
2、积是奇函数.(3)若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)=f(
3、x
4、).(4)若奇函数f(x)定义域中含有0,则必有f(0)=0.f(0)=0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件.(5)复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”.(6)既奇又偶的函数有无穷多个(如f(x)=0,定义域是关于原点对称的任意一个数集).3.周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最
5、小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性主要根据定义:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x)(或f(-x)=-f(x)),那么函数f(x)就叫做偶函数(或奇函数).其中包含两个必备条件:①定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域有利于准确简捷地解决问题;②判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.双基自测1.(2011·镇江
6、调研)若函数f(x)=(x+a)3x-2+a2-(x-a)·38-x-3a为偶函数,则所有实数a的取值构成的集合为________.解析 由f(-x)=f(x),得(-x+a)3-x-2+a2+(x+a)·38+x-3a=(x+a)3x-2+a2-(x-a)38-x-3a所以从而a2+3a-10=0,解得a=-5或a=2.答案 {-5,2}2.(2011·南通调研)对于定义在R上的函数f(x),给出三个命题:①若f(-2)=f(2),则f(x)是偶函数;②若f(-2)≠f(2),则f(x)不是偶函数;③若f(-2)=f(2),则f(x)一定不是奇函数.其中正确命题的序号为
7、________.答案 ②3.(2011·泰州学情调查)若f(x)是偶函数,且当x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,则f(x-1)<0的解集是________.解析 如图所示,由f(x-1)<0,得-1<x-1<1,解得0<x<2.答案 {x
8、0<x<2}4.(2011·泰州学情调查)已知周期函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)的最小正周期为3,f(1)<2,f(2)=m,则m的取值范围为________.解析 因为f(x+3)=f(x),f(-x)=-f(x),所以m=f(2)=f(-1)=-f(1)>-2.答案 (-2,+∞)5.(2011·盐城检测)设f(
9、x)是定义在(-1,1)上的偶函数,在(0,1)上增,若f(a-2)-f(4-a2)<0,则a的取值范围为________.解析 由f(a-2)<f(4-a2),得f(
10、a-2
11、)<f(
12、4-a2
13、),由题意,得0<
14、a-2
15、<
16、4-a2
17、<1,解得<a<且a≠2.答案 (,2)∪(2,) 考向一 函数奇偶性的判断【例1】►判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=+;(2)f(x)=(x-1);(3)f(x)=.[审题视点]先求函数的定义域,并判断是否关于原点对称,再由奇、偶函数的定义判断.解 (1)由得x=±1,∴f(x)的定义域为{-1,1}.又f(1)+f(-1)=
18、0,f(1)-f(-1)=0,即f(x)=±f(-x).∴f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)由得-1≤x<1.∵f(x)的定义域[-1,1)不关于原点对称,∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(3)由得-2≤x≤2且x≠0.∴f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],∴f(x)===,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.首先考虑定义域是否关于原点对称,再根据f(-x)=±f(x)判断,有时需要先将函数进行化简(如例1,(3)).【训练1】判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=x2-
19、x
20、+1,x∈[-1,4];(
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