思科数学第6讲函数的奇偶性

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1、第6讲　函数的奇偶性　　基础梳理1．奇、偶函数的概念一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．如果对于任意的x∈A都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．2．函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、

2、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．(3)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(

3、x

4、)．(4)若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)＝0.f(0)＝0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件．(5)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”．(6)既奇又偶的函数有无穷多个(如f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集)．3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T

5、为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性主要根据定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)(或f(－x)＝－f(x))，那么函数f(x)就叫做偶函数(或奇函数)．其中包含两个必备条件：①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域有利于准确简捷地解决问题；②判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的

6、等价关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．双基自测1．(2011·镇江调研)若函数f(x)＝(x＋a)3x－2＋a2－(x－a)·38－x－3a为偶函数，则所有实数a的取值构成的集合为________．解析　由f(－x)＝f(x)，得(－x＋a)3－x－2＋a2＋(x＋a)·38＋x－3a＝(x＋a)3x－2＋a2－(x－a)38－x－3a所以从而a2＋3a－10＝0，解得a＝－5或a＝2.答案　{－5,2}2．(2011·南通调研)对于定义在R上的函数f(x)，给出三个命题：①若f

7、(－2)＝f(2)，则f(x)是偶函数；②若f(－2)≠f(2)，则f(x)不是偶函数；③若f(－2)＝f(2)，则f(x)一定不是奇函数．其中正确命题的序号为________．答案　②3．(2011·泰州学情调查)若f(x)是偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则f(x－1)＜0的解集是________．解析　如图所示，由f(x－1)＜0，得－1＜x－1＜1，解得0＜x＜2.答案　{x

8、0＜x＜2}4．(2011·泰州学情调查)已知周期函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)的最小正周期为3，f(1)＜2，f(2

9、)＝m，则m的取值范围为________．解析　因为f(x＋3)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，所以m＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＞－2.答案　(－2，＋∞)5．(2011·盐城检测)设f(x)是定义在(－1,1)上的偶函数，在(0,1)上增，若f(a－2)－f(4－a2)＜0，则a的取值范围为________．解析　由f(a－2)＜f(4－a2)，得f(

10、a－2

11、)＜f(

12、4－a2

13、)，由题意，得0＜

14、a－2

15、＜

16、4－a2

17、＜1，解得＜a＜且a≠2.答案　(，2)∪(2，)　　考向一　函数奇偶性的判断【例1】►判断下列函

18、数的奇偶性．(1)f(x)＝＋；(2)f(x)＝(x－1)；(3)f(x)＝.[审题视点]先求函数的定义域，并判断是否关于原点对称，再由奇、偶函数的定义判断．解　(1)由得x＝±1，∴f(x)的定义域为{－1,1}．又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)由得－1≤x＜1.∵f(x)的定义域[－1,1)不关于原点对称，∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(3)由得－2≤x≤2且x≠0.∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，∴f(x)＝＝＝，∴f(－

19、x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．首先考虑定义域是否关于原点对称，再根据f(－x)＝±f(x)判断，有时需要先将函数进行化简(如例1，(3))．【训练1】判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝x2－

20、x

21、＋1，x∈[－1,4]；(