思科数学第9讲指数与指数函数

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1、第9讲　指数与指数函数　　基础梳理1．根式(1)根式的概念如果一个实数x满足xn＝a(n>1，n∈N*)，那么称x为a的n次方根．(2)根式的性质①当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数．这时，a的n次实数方根只有一个，记为x＝.②当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数．这时，正数a的正的n次实数方根用符号表示，负的n次实数方根用符号－表示，它们可以合并写成±(a>0)的形式.0的n次实数方根等于0，若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.③()n＝a.④当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝

2、a

3、＝⑤负数没有偶

4、次方根．2．分数指数幂的意义(1)a＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)(2)a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)3．指数幂的运算规律asat＝as＋t，(as)t＝ast，(ab)t＝atbt，其中s、t∈Q，a>0，b>0.4．指数函数的图象与性质y＝axa＞10＜a＜1图象定义域R值域(0，＋∞)指数函数的图象及其变换将指数函数y＝f(x)＝ax(a＞0，a≠1)进行平移、翻折，可作出y－y0＝f(x－x0)，y＝

5、f(x)

6、，y＝f(

7、x

8、)等函数的图象，要善于灵活应用这类函数图象的变换画图和解题．指数函数的复合函数的性质指数函数除在定义域内具有单调性外，不具有奇偶

9、性和周期性等，但可以与其他函数进行复合，所构成的简单的复合函数可能具有奇偶性、周期性、对称性等性质，要灵活应用这类性质解题．双基自测1.＝________.解析　＝

10、π－4

11、＝4－π.答案　4－π2．已知函数f(x)＝4＋ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．解析　当x＝1时，f(1)＝5.答案　(1,5)3．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)＝________.解析　∵f(x)＝2x＋2－x，f(a)＝3，∴2a＋2－a＝3，f(2a)＝22a＋2－2a＝(2a＋2－a)2－2＝9－2＝7.答案　74．已知a＝，函数f(x)＝ax，

12、若实数m，n满足f(m)＞f(n)，则m，n的大小关系为________．解析　∵a＝∈(0,1)，则f(x)＝ax为R上的减函数．∵am＞an，∴m＜n.答案　m＜n5．函数f(x)＝的定义域是________．解析　由1－2x≥0，得2x≤1，∴x≤0.答案　(－∞，0]　　考向一　指数幂的运算【例1】►计算下列各式：(1)1.5－×0＋80.25×＋(×)6－；(2)÷×.[审题视点]先化为分数指数幂，再进行运算．解　(1)原式＝×1＋(23)×2＋6－＝2＋4×27＝110.(2)令a＝m，b＝n，则原式＝÷·m＝·＝＝m3＝a.化简结果：①若题目以根式形式给出，则结

13、果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．【训练1】化简下列各式(其中各字母均为正数)．(1)；(2)a·b－2·÷.解　(1)原式＝＝a－－－·b＋－＝.(2)原式＝－a－b－3÷＝－a－·b－3÷＝－a－·b－＝－·＝－.考向二　指数函数的图象及应用【例2】►(1)函数y＝a2010－x＋2010(a＞0，且a≠1)恒过点________．(2)方程2x＝2－x的解的个数为________．[审题视点]利用指数函数的图象．解析　(1)∵a0＝1，∴该函数的图象过点(201

14、0,2011)．(2)方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图)．由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．答案　(2010,2011)　(2)1(1)指数函数图象经过定点的实质是利用了a0＝1(a≠0)，故应令幂指数等于0求定点的坐标．(2)将方程解的问题转化为两函数图象的交点问题，体现了数形结合思想的应用．【训练2】如图，过原点O的直线与函数y＝2x的图象交于A，B两点，过B作y轴的垂线交函数y＝4x的图象于点C.若AC平行于y轴．求点A的坐标．解　设C(a,4a)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵AC∥y轴，∴x1＝

15、a，y1＝2x1＝2a，即A(a,2a)，又BC∥x轴．∴y2＝4a，y2＝2x2＝4a.∴x2＝2a，即B(2a,4a)．又∵点O、A、B共线，∴＝，∴2a＝2，即a＝1，∴A的坐标为(1,2)．考向三　指数函数的性质及应用【例3】►设a＞0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值．[审题视点]换元令t＝ax，利用二次函数和指数函数的单调性来研究函数的单调性，构建方程获解．解　令t＝ax(a＞0且a≠1)，则原函数化为y＝(t＋1)2－2(t＞0)．①当0＜a＜1时