5函数的奇偶性-中等难度-讲义

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1、函数的奇偶性岳＞知识讲解一.禽敎奇偶住的虧乂都有-xeDr且都有-xwD，且1・奇函数：设函数)=/(兀)的定义域为D,如果对于D内的任意一个兀，f(-x)=-f(x),则这个函数叫做奇函数.2•偶函数：设函数y=fM的定义域为£),如果对于D内的任意一个兀，/(-x)=/(x),则这个函数叫做偶函数.二.奇偶甜缺的囹彖特征1.函数y=f(x)是偶函数o"/⑴的图象关于轴对称；2.函数〉y/⑴是奇函数o/(兀)的图象关于原点对称.三.判瞬禽敎奇偶槌的方法i・定义法：首先判断其定义域是否关于原点屮心对称.若不对称，则为非奇

2、非偶函数；若对称，则再判断/(-X)=-/(兀)或f(-x)=f(x)是否为恒等式.定义的等价形式：fM±/(-%)=0,-^-=±1./(―X)2•图象法2•性质法：设/(兀)，g(兀)的定义域分别是久Q，那么在它们的公共定义域d=u2上:奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇乂奇=偶，偶乂偶=偶，奇乂偶=奇；四、奇偶禽敎的槌质1•函数具有奇偶性=>其定义域关于原点对称；2.函数"八兀）是偶函数o）匸fM的图彖关于轴对称；3.函数=是奇函数⑴的图象关于原点对称.4.奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反.5

3、.若奇函数）匸/⑴的定义域包含0,贝M（°）=°.扎、纟见禽敎的奇偶槌1.正比例函数y=W*0）是奇函数；2.反比例函数y=-（k^0）是奇函数；3.函数y=kx+b伙h00工0）是非奇非偶函数；4.函数y=ax2+c（a丰0）是偶函数；5.常函数歹=。是偶函数；k6•对勾函数y=x+-伙工0）是奇函数；爲Q经典例题一，镇空龜(坎12小龜丿1.给定四个函数：①y=x3+饭；②y=-(x>0)；③y=x3+l；④丫二.其XX中是奇函数的有①④(填序号).【解答】解：:①函数的定义域为R,则f(-x)二-(xW)二-f(x)

4、,则函数f(x)是奇函数；②函数的定义域关于原点不对称，则函数f(x)为非奇非偶函数；③函数的定义域为R,f(0)=0+1=1^0,则函数f(X)为非奇非偶函数；咒兀2+1④函数的定义域为(-°°,0)U(0,+°°),f(-x)=二二-f-%x(X),则函数f(X)是奇函数，故答案为：①④2・f(x)是定义在R上的奇函数，当xVO时，f(x)=x2-3x,则当x>0时•，f(x)=_X?_3x•【解答】解：・・・f(X)是定义在R上的奇函数，/.f(・x)=-f(x),若x>0,则-x<0,Vx<0时，f(x)=x2-

5、3x,当-x<0时，f(-x)=x2+3x=-f(x),.♦.f(x)=-x2-3x,故答案为：x2-3x,1.已知f(x)是R上偶函数，且在［0,+°°)上递减，比较/(-

6、)与f(1+a+a2)3的大小关系为f(l+a+a?)Wf(—).413133【解答】解：根据题意,l+a+a2=(-+a+a2)—(a+-)24244则又由f(X)在[0,+oo)上递减，3则有f(1+a+a2)Wf(-),4又由f(x)是R上偶函数，3则有f(1+a+a2)Wf(■_),43故答案为:f(1+a+a2)Wf(・-)•41.已知f

7、(x)是定义在(-1,1)上的奇函数，且在定义域上为增函数，若f(a-2)

8、答】解：根据题意，2a2+a+1=2(a'—a—)+-二2(a+~)?+-上一，2168288.90151955iflj2a~-2a+3=2(a~-a+—)~~2(a—)~+一上一；42222由f(x)在R上是偶函数，在区间(-8,0)上递增，可知f(x)在(0,+°°)上递减.若f(2a2+a+l)2a2-2a+3,即3a-2>0,解22可得a>?则a的取值范围(？+°°)；2故答案为：(-,+8)・6・已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=x2+2x(x$0),若f(

9、3-3a2)>f(2a-a2),则实数a的取值范围是-・2【解答】解：•・•函数f(x)=x2+2x(x20)是增函数，且f(0)=0,f(x)是奇函数・・・f(x)是R上的增函数.由f(3-a2)>f(2a-a2),J，是3-a2>2a-a2,因此，解得a<

10、.3故答案为：a<-.7.若f(x)二ax'+bx+l-