第5讲--函数的奇偶性和周期性

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1、第5讲函数的奇偶性和周期性★知识梳理1．函数的奇偶性的定义：①对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为奇函数.奇函数的图象关于原点对称。②对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为偶函数.偶函数的图象关于轴对称。③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性.具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）1．函数的周期性命定义：对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。★重、难点突破重点：函数的奇偶性和周期性，函数的奇偶性、单调性、周期

2、性的综合应用难点：函数的奇偶性的判断函数的奇偶性与单调性、函数的奇偶性与周期性的综合应用重难点：1.函数的奇偶性的判断：可以利用奇偶函数的定义判断或者利用定义的等价形式,也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性.注意①若,则既是奇函数又是偶函数,若,则是偶函数；②若是奇函数且在处有定义，则③若在函数的定义域内有，则可以断定不是偶函数，同样，若在函数的定义域内有，则可以断定不是奇函数。2．奇偶函数图象的对称性（1）若是偶函数，则的图象关于直线对称；（2）若是偶函数，则的图象关于点中心对称；3．函数的周期性周期性不仅仅是三角函数的专利，抽象函数的周期性是高考热点，主

3、要难点是抽象函数周期的发现，主要有几种情况：（1）函数值之和等于零型，即函数对于定义域中任意满足，则有，故函数的周期是（2）函数图象有，两条对称轴型函数图象有，两条对称轴，即，，从而得，故函数的周期是（1）两个函数值之积等于，即函数值互为倒数或负倒数型若，则得，所以函数的周期是；同理若，则的周期是（2）分式递推型，即函数满足由得，进而得，由前面的结论得的周期是★热点考点题型探析考点1判断函数的奇偶性及其应用题型1：判断有解析式的函数的奇偶性[例1]判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=

4、x+1

5、－

6、x－1

7、；（2）f（x）=（x－1）·；（3）；（4）[思路点拨]判

8、断函数的奇偶性应依照定义解决，但都要先考查函数的定义域。[解析]（1）函数的定义域x∈（－∞，+∞），对称于原点.∵f（－x）=

9、－x+1

10、－

11、－x－1

12、=

13、x－1

14、－

15、x+1

16、=－（

17、x+1

18、－

19、x－1

20、）=－f（x），∴f（x）=

21、x+1

22、－

23、x－1

24、是奇函数.（2）先确定函数的定义域.由≥0，得－1≤x＜1，其定义域不对称于原点，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数.（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.由得故f（x）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x+2＞0.从而有f（x）==，∴f（－x）==－=－f（x）故f（x）为奇函数.（4）∵函

25、数f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x＞0时，－x＜0，∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）.当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）.故函数f（x）为奇函数.【名师指引】函数的奇偶性是函数的一个整体性质,定义域具有对称性(即若奇函数或偶函数的定义域为D,则时)是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件分段函数的奇偶性一般要分段证明.③判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.题型2：证明抽象函数的奇偶性[例2]（09年山东梁山）定义在区间上的函数f(x)满足：对任意的，都有.求

26、证f(x)为奇函数；[思路点拨]欲证明为奇函数，就要证明，但这是抽象函数，应设法充分利用条件“对任意的，都有”中的进行合理“赋值”[解析]令x=y=0，则f(0)+f(0)=∴f(0)=0令x∈(－1,1)∴－x∈(－1,1)∴f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0∴f(－x)=－f(x)∴f(x)在(－1，1)上为奇函数【名师指引】对于抽象函数的奇偶性问题，解决的关键是巧妙进行“赋值”，而抽象函数的不等式问题，要灵活利用已知条件，尤其是f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)[新题导练]1．（09广东电白一中）设函数为奇函数，则___________。

27、2．（高州中学09届训练题）已知函数是定义域为的偶函数，则的值是（）A．0；B．；C．1；D．3．定义两种运算：，，则是______________函数，（填奇、偶、非奇非偶，既奇又偶四个中的一个）4．已知函数（a、b、c∈Z）是奇函数,又，，求a、b、c的值.考点2函数奇偶性、单调性的综合应用[例3]（普宁市城东中学09）已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数的取值范围。[思路点拨]欲求的取值范围，就要建立关于的不等式，可见，只有从出发，所以应该利用的奇偶性和单调性将外衣“”脱去。[解析]是定义在上奇函数对任意有由条件得=是定义在上减函数，解得实数的取值范围