5函数的奇偶性和周期性

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1、函数的奇偶性和周期性台山市李谭更开纪念中学数学组杨义清2．奇、偶函数的性质(1)图象特征：奇函数的图象关于____对称，偶函数的图象关于___对称．原点y轴奇偶性奇函数偶函数定义如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x都有______________，那么函数f(x)是奇函数都有_____________，那么函数f(x)是偶函数.1．奇函数、偶函数的定义f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)(2)对称区间上的单调性：奇函数在关于原点对称的两个区间上有_______的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有______的单调性．(3)奇函数图象与原点的关系：如果奇函数f

2、(x)在原点有意义，则f(0)＝____.(4)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．相同相反03．周期性若f(x)对于定义域中任意x均有_______________(T为不等于0的常数)，则f(x)为周期函数．若T是函数y＝f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，且n≠0)也是f(x)的周期．f(x＋T)＝f(x)【解析】A选项中的函数为非奇非偶函数．B、C、D选项中的函数均为奇函数，但B、C选项中的函数不为增函数．【答案】D【解析】D(x)的值域是{0，1}，选项A正确．当x是有理数

3、时，－x也是有理数，且D(－x)＝1，D(x)＝1，故D(－x)＝D(x)，当x是无理数时，－x也是无理数，且D(－x)＝0，D(x)＝0，即D(－x)＝D(x)，故D(x)是偶函数，选项B正确．当x是有理数，D(x＋a)＝1＝D(x)；当x是无理数时，D(x＋b)＝D(x)＝0，故D(x)是周期函数，选项C不正确．显然D(x)不是单调函数，选项D正确．【答案】C5．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为()A．－1B．0C．1D．2【解析】∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(8)＝f(0)．又函数f(x)是定

4、义在R上的奇函数，∴f(8)＝f(0)＝0.【答案】B2、根据奇偶性求函数的解析式已知定义在R上的奇函数满足：当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，则当x<0时，f(x)＝。解：当x<0时，则-x>0,∴f(-x)＝(-x)2＋2(-x)=x2-2x，又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(-x)＝x2-2x=－f(x)，∴f(x)＝-x2＋2x【答案】-x2＋2x3、根据奇偶性、单调性解不等式(求取值范围)1、已知定义在R上的奇函数满足f(x)＝x2＋2x(x≥0)，若f(3－a2)＞f(2a)，则实数a的取值范围是________．解：当x≥0时，f(x)＝x2＋2

5、x＝(x＋1)2－1，∴函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(0)＝0.∴函数f(x)在R上是增函数，由f(3－a2)＞f(2a)，得3－a2＞2a，解得－3＜a＜1.【答案】（－3，1)A易漏掉对变量取值的限制！【解析】(1)设x＞0，则－x＜0，∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x，f(x)＝ax2＋bx.又f(－x)＝－f(x)，∴a＝－1，b＝1，∴a＋b＝0.4、根据奇偶性求值求f(-1)是解本题的关键！3．周期性若f(x)对于定义域中任意x均有_______________(T为不等于0的常数)，则f(x)为周期函数．若T

6、是函数y＝f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，且n≠0)也是f(x)的周期．f(x＋T)＝f(x)4、根据周期性求值求周期是关键！求一个周期的和！(2013·福州模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)．【思路点拨】证明f(x＋4)＝f(x)，进而运用周期性与奇偶性求解．解：(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)f(0)＝0，f(

7、2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝f(－1)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数．∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)＝f(0)＋f(1)＝1.