《创新设计》江苏专用理科高考数学二轮专题复习习题专题八数学思想方法

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1、专题八.数学思想方法函数与方程思想.数形结合思想高考定位函数与方程思想、数形结合思想都是重要的数学思想，髙考对函数与方程思想的考查，一般是通过函数与导数试题，三角函数试题、数列试题或解析几何试题进行考查，重点是通过构造函数解决最大值或者最小值问题，通过方程思想求解一些待定系数等，对数形结合思想的考查，一般体现在填空题中.思想概述•应用点拨明要点思应用1.函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图彖和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.(2)方程的思想

2、，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法.2.函数与方程的思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对于函数y=f(x),当y>0时，就转化为不等式/(X)>0,借助于函数的图彖和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.(2)数列的通项与前n项和是自变量为止整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要.(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.3.数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和

3、“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：(1)借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；(2)借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为口的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.1.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的儿何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.数学中的知识，有的本身

4、就可以看作是数形的结合.热点聚焦•題型宪破研热点析角度热点一函数与方程思想的应用［微题型1］运用函数与方程思想解决函数、方程、不等式冋题17【例1—1】设函数/(x)=cos2x+sinx+a~1,已知不等式1W/⑴W才对_切恒成立，求Q的取值范围.解/(x)=cos2x+sinx+a~1=1—sin2x+sinx+a—1因为一lWsinxWl,所以当sinx=*时，函数有最大值./(Qnax=d+£当sinx=—1时,函数有最小值y(x)min=a—2.17因为lW/(x)W才对一切炸R恒成立，17所以./WmaxW才且./⑴亦三1，丄丄<12ClIAWA,即44解得3W

5、aW4,卫一2$1,所以Q的取值范围是［3,4］・探究提高(1)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数,利用函数的图象和性质解决问题；⑵函数.心)>0或、/(x)VO恒成立，一般可转化为/(切罰>0或,/(X)max<0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解.［微题型2］运用函数与方程思想解决数列冋题【例1—2】已知数列｛外｝满足ai=3,a”+i=d“+/r3"(nGN*,p为常数),如,a2+6,成等差数列.⑴求卩的值及数列仇｝的通项公式；/4(2)设数列偽｝满足bn=—,证明:(1)解由。1=3,cin+=cin~~p'3n9

6、得02=3+3”，03=02+9/7=3+12/?.因为dl，Q2+6,如成等差数列，所以。1+。3=2(02+6),即3+3+12p=2(3+3p+6),得p=2,依题意知，a/1+=a,l+2X3n.当“22时，02—01=2X3】，03—02=2X3?,…，a〃一a“_i=2X3"1将以上式子相加得a〃一°1=2(3'+3?3"T),丁“_3X(1—3“t)….所以Q”——2X■~=3—3,所以a“=3"(〃M2)•又gi=3符合上式,故a”=3"・⑵证明因为a„=3",所以仇=$亡l・、i「f(h+1)2n2—2h2+2/?+1_*所以仇+i_b〃=尹n—亍=尹1

7、(nWN),若一2n2+2n+1<0,则”〉］,即当n22时,有bn+i

8、1Wa”，(2)数列中的最大项与最小项问题，利用函数的有关性质或不等式组

9、、I如左Q卄1,一求解.(3)数列中前n项和的最值：转化为二次函数，借助二次函数的单调性或求使给NO(d〃WO)成立时最大的n值即可求解.［微题型3］运用函数与方程的思想解决解析几何中的问题【例1一3