《创新设计》2017届二轮专题复习浙江专用数学科word版材料专题七数学思想方法

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1、专题七数学思想方法第1讲函数与方程思想、数形结合思想高考定位函数与方程的思想一般通过函数与导数、三角函数、数列、解析几何等知识进行考查；数形结合思想一般在选择题、填空题中考查.I思魁概述丨应用点拔I1.函数与方程思想的含义明要点思应用(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的木质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获

2、得解决的思想方法.2.函数与方程的思想在解题中的应用⑴函数与不等式的相互转化，对于函数夕=心)，当尹>o时，就转化为不等式/W>0,借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.(2)数列的通项与前〃项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题丨分重要.(3)解析几何小的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.3•数形结合是一种数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：①借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为廿的，比如应用函数的图象來

3、直观地说明函数的性质；②借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的儿何性质.4.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题廿中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形,以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.数学中的知识，有的木身就可以看作是数形的结合.研热点析角度I热点聚焦丨题型突破I热点一函数与方程思想的应用［微题型1］不等式问题屮的函数(方程)法【例1—1】⑴

4、心)=Q疋一3兀+1对于%e［-l,1］,总冇.心)20成立，则a=⑵设y(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时,/(兀旭(兀)十心)0(兀)>0,且g(—3)=0,则不等式/(x)g⑴<0的解集是.解析⑴若兀二0,则不论。取何值忍x)20显然成立；当兀>0艮卩xG(0,1］时,/(X)=ax3-3x+1$0可化为313(1-2x)设g(x)=p・yr,则g'(x)二孑所以g(x)在区间［o,屮上单调递增,在区间g,1］上单调递减.因此g(X)max=g(^=4,从而3i31当工V0即泻［・1,0)时,f{x)=ax3・3兀+1$0可化为00壬

5、・F'设&(兀)=壬F，且g(兀)在区间［・1,0)上单调递增,因此g(x)min=g(・1)=4,从而aW4,综上a=4.⑵设F(x)=./(x)g(x),由于.心)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得F(・兀)=A・x)g(・Q=・Xx)g(x)=・F(x),即F(x)在R上为奇函数.又当xv0时，F(x)=/(x)g(x)+/(x)g©)>0,所以兀VO时,F⑴为增函数.因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x>0时，F(x)也是增函数.因为F(・3)=/(・3)g(・3)=0=・F(3).所以,由图可知F(x)<0的解集是(・oor・3)U(0,

6、3).答案(1)4(2)(—8,-3)U(0,3)探究提高(1)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数,利用函数的图象和性质解决问题；(2)函数.心)>0或.心)<0恒成立,一般可转化为Ax)min>0或./(x)max<0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解.［微题型2］数列问题的函数(方程)法【例1—2］已知数列｛如满足°］=3,an+i=an+p-3n(nN*,p为常数),a,a2+6,如成等差数列.(1)求p的值及数列｛外｝的通项公式；,/4(2)设数列｛bn｝满足bn=丁，证明:b,jQ.(1)解由。1=3,如+i

7、=a“+p3",得。2=3+3/?,=。2+9/?=3+12°.因为Ql，Q2+6,成等差数列，所以+心=2(。2+6),即3+3+12p=2(3+3p+6),得p=2,依题意知，=a“+2X3".当心2时,°2—01=2X3=—02=2X3?,…，un—Cln-=2X3"".将以上式了相加得q〃一°1=2(3、+3?3"'),所以an—a—2X3X(1—3"T)R3=3"一3所以bn+—bn=〃+i所以為=3"(〃22).又di=3符合上式,故a“=3".(2)证明因为a„=3n,所以b”=£.2n2—2/+2"+1,若一2/?2+2a?+1<0,则n>