【创新设计】高一数学人教B版必修4学案：121三角函数的定义

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1、1.2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义［学习目标］1.理解任意角的三角函数的定义2掌握三角函数在各个彖限的符号.戸预习导学全挑战自我，点点落实［知识链接］在初中，我们已经学过锐角的三角函数.如图，在Rt/ABC中，设力对边为g,B对边为b,C对边为c,锐角/的正弦、余弦、正切分别是什么？答锐角/的正弦、余弦、正切依次为：sin/年，cosA=KtanA=^.［预习导引］1.三角函数的定义如图，在Q的终边上任取一点P(X,叨，设OP=r(r^O).⑴定义YX；叫做角a的余弦,记作cosa,即cosa=:

2、;三叫做角a的正弦；记作sina,即sina=£；三叫做角«的正切,记作tana,即tana=^.依照上述定义，对于每一个确定的角都分别有唯一确定的余弦值、正弦值与之对应；当士号伙WZ)时，它有唯一的正切值与之对应.因此这三个对应法则都是以c(为自变量的函数，分别叫做角Q的余眩函数、正眩函数和正切函数.(2)有时我们还用到下面三个函数Ir1r角。的正割：sec角。的余割：csca=—=p]x角a的余切：cot。=石乙=亍这就是说，seca,esca,cota分别是a的余弦、正弦和正切的倒数.a没有意义;当7Tr

3、fl上述定义可知，当a的终边在夕轴上，即a=2lcit±2(k^Z)时，tana,a的终边在x轴上，即。=竝伙WZ)时,cotgesca没有意义・2.三角函数在各个象限的符号+y+OXsinaesca—y+OX+cosaseca—y+OX+tanacota3.三角函数的定义域三角函数定义域sina,cosaRtanu.,seca71cota,escaMZ}戸课堂讲义全重点难点，个个击破要点一三角函数定义的应用3例1已知角a的终边在直线y=—3x±,求lOsina+——的值.JUS(a解由题意知，cosaHO.设

4、角a的终边上任一点为P伙，一3£)伙H0),则x=k,y=—?>k,r=^)A:2+(—3Z:)2=y[k.(1)当QO时，r=y[Wk,a是第四象限角，.v-3k3価咽心厂而T_io，丄亠辱压,cosaxkv1°站°+暑=10X(-響)+3帧=一3帧+3伍=0.(2)当£<0时，尸=一帧広a为第二象限角，.y—3k3帧沏心厂二10，丄亠_辱_顷cosaxkv・•・^2+暑=10X警+3X（—帧）=3帧一3帧=0.3综上所述，10sina+£需=0.JUS（X规律方法在解决有关角的终边在直线上的问题时，

5、应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点坐标(如〃),则对应角的正弦值为sinab跟踪演练1已知角0的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4,叨是角0终边上一点，且sin0=—贝0y=.答案一8解析因为sin0=萌；+/=所以y<0,且/=64,所以y=—&要点二三角函数值符号的判断例2判断下列三角函数值的符号:（l）sin3,cos4,tan5；⑵sin（cos0）（0为第二象限角）.解（1）^<3

6、in3>0,cos4<0,tan5<0.(2)・・・。是第二象限角，71—㊁V—1VCOS〃<0,sin(cos0)<0.规律方法由三角函数的定义知sina=y,cosa=¥，tana=2(Q0),可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点P(x,□的坐标确定的，则准确确定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键.跟踪演练2已知cos&•饴n&<0,那角0是()A.第一或第二象限角B・第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角答案C解析Vcos0・tan^<0,cos&<0,tan^>0或*c

7、os^>0,tan0<0.tan@>0,得角0为第三象限角.cos&>0,tan得角〃为第四象限角.•••角&为第三或第四象限角.要点三三角函数的定义域例3求下列函数的定义域:sinx+cosx⑴尸~-(2)y=y/—cosx+yjsinx・解(1)要使函数有意义，须tanxHO,所以兀工刼+号，kWZ且兀工刼，kWZ，所以,kWZ.于是函数的定义域是,圧Z・（2）要使函数有意义，须—cosxMO,sinx^O,,圧Z,2竝+号解之得2«兀+号WxW2Ati+7i,kWZ.所以函数的定义域是{兀

8、2加+賽xW2

9、刼+兀，底z}.规律方法求函数定义域使式子有意义的情况一般有以下几种：（1）分母不为零，（2）偶次根号下大于等于零，（3）在真数位置时大于零，（4）在底数位置时大于零且不等于1.跟踪演练3求函数^=tanx+-^—的定义域.号（胆Z）的终边不在坐标轴上，所以函数的定义域为{x

10、xH号,圧z}.歹当堂检测当堂训练，体验成功1.己知角a的终边经过点（一4,3）,则cosa等于（）b，1c-