【创新设计】高一数学人教B版必修4学案：232向量数量积的运算律

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1、2.3.2向量数量积的运算律［学习目标］1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式2会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.戸预习导学全挑战自我，点点落实［知识链接］1.向量数乘的运算律有哪些？答⑴殛1）=（久“）4.（2）（2+“）a=加+“a.（3"仗+力）=加+肋.特别地，有（-A）a=-（Aa）=A（-«）；久（a_方）=加_2.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b,以及任意实数久、旳、“2，恒有久（〃

2、。±“2〃）=2“1。±人〃2〃.［预习导引］1.向量的数量积（内积）

3、a

4、

5、切cos〈a,b｝叫做向量a和方的数量积（或内积

6、），记作a•方.即a-b=a\bcos〈a,方〉.2.向量数量积的性质设a、方为两个非零向量，e是与〃同向的单位向量.(l)ae=ea=

7、a

8、cos〈a,方〉;(2)a丄〃=2_且ab=0^a丄〃;(3)as=

9、af或匕

10、=百；a，b(4)cosa,b)=丽(5)0创041创.3.向量数量积的运算律(1)a〃=Zra(交换律);(2)(Aa)b=A(ab)=a(Xb)(结合律);bc(配).⑶(a+b)c律〒课堂讲义/重点难点，个个击破要点一向量数量积运算律的有关概念例1给出下列结论：①若aHO,a・b=O,则b=0；②若a・b=b・c,则a=c；③(a・b)c=a(b・c

11、)；@a-[b(ac)~c(a-b)]=0.其中正确结论的序号是・答案④解析因为两个非零向量d、方垂直时，a力=0,故①不正确；当a=0,bJLc时，a-b=b*c=O,但不能得出a=c,故②不正确；向量(a^b)c与c共线，a(b-c)与a共线，故③不正确；a[b(a-c)—c(a-b)]=(a・b)(a・c)—(o・c)(a・〃)=0,故④正确.规律方法向量的数量积与实数a、b的乘积a"有联系，同时有许多不同之处.例如，由ab=0并不能得出a=0或方=0.特别是向量的数量积不满足结合律，即一般情况下(ab)c^a(bc).跟踪演练1设a,b,c是任意的非零向量，且它们相互不共

12、线，给出下列结论：®ac—bc=(a—b)c；®(bc)a—(ca)b不与c垂直;®a-b

13、a

14、2—4

15、呼.其中正确的序号是•答案①③④解析根据向量数量积的分配律知①正确；V[(bc)a—(ca)b]c=(bc)(ac)—(ca)(bc)=O,(bc)a—(ca)b与c垂直，②错误；Va,〃不共线，・・・匕

16、、

17、创、a~b组成三角形三边，a—b

18、a

19、=6,

20、创=4,a与b的夹角为60。,求(a+2b)(a~3b).

21、解(o+2b)(a_30)=aa—ab—6bb=

22、af—ah一6

23、A

24、2=

25、a

26、2-

27、a

28、-

29、b

30、cos6>-6

31、h

32、2=62-6X4Xcos60°-6X42=-72.规律方法熟练掌握两向量的数量积定义及运算性质，是解决此类问题的关键.计算形如(ma+nby^a+qb)的数量积可仿多项式乘法的法则展开计算，再运用数量积定义和模的公式化简求解.跟踪演练2已知向量a与方的夹角为120。，且匕

33、=4,0

34、=2,求：(1)(2a-by(a+3b)；(2)

35、3a-4ft

36、.解(l)(2a—b)(a+3〃)=2a2+6a〃一ab—3b"=2

37、a

38、2+5a-*-3

39、ft

40、2=2X16+5X4X

41、2Xcos120°-3X4=0.(2)

42、3a—4创$=(3a—4府=9/一24a•b+16沪=9X16-24X(-4)+16X4=16X19.・・・

43、3a—4方

44、=4侮.例3已知

45、d

46、=3,0

47、=4,且a与〃不共线，比为何值时，向^a+kb与a—kb互相垂直.解a+kb与a—kb互相垂直的条件是(a+kb)(a-kb)=0,即a2~k2b2=0.V

48、a

49、=3,

50、*

51、=4,・・・9一16卩=0,•••启3一当&=±才时，a+kb与a—kb互相垂直.规律方法向量a,方夹角为锐角的等价条件是a/>0且a与〃不同向共线；a/夹角为钝角的等价条件是ab<0且a与〃不反向共线；a与〃垂直的等

52、价条件是ab=0.跟踪演练3已知®与血是两个互相垂直的单位向量，£为何值时，向量e}+ke2与鹿1+02的夹角为锐角？解Tei+辰2与辰1+^2的夹角为锐角，(ei+辰2〉(辰1+©)=ke]+kei+(^2+1)£]・02=2£>0,「.QO.但当£=1时，e[+ke2=ke{+e2,它们的夹角为0,不符合题意，舍去.综上，k的取值范围为仗

53、Q0且E}.尹当堂检测(当堂训练，体验成功1.下面给出的关系式中正确的个数是()①Os=O；②ab=ba；®a2=

54、a

55、2；④⑤(ab)2