【创新设计】高一数学人教B版必修4学案：221平面向量基本定理

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1、2・2向量的分解与向量的坐标运算2・2.1平面向量基本定理［学习目标］1.理解平面向量基本定理及其意义2了解向量一组基底的含义，在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底來表示其他向量.3.掌握直线的向量参数方程式，尤其是线段中点的向量表达式.4.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.戸预习导学全挑战自我，点点落实［知识链接］1.如图所示，引，％是两个不共线的向量，试用©，02表示向量乔，cb>EF>GH,HG,答通过观察，可得:4B=2®+3^2,EF=4e—4^2,GH'=—20］+5e2，HG'

2、=2e、—5^2，a=—2®.2.0能不能作为基底？答由于0与任何向量都是共线的，因此0不能作为基底.3.平面向量的基底唯一吗？答不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面的一组基底.［预习导引］1•平面向量基本定理如果②和◎是一平面内的两个不平行的向量,那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数如,。2,使4=。上］+。202.2.基底把不共线向量引，％叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为｛。，e2｝.a］el+a2e2叫做向量a关于基底｛切，e?｝的分解式.3.直线的向量参数方程式已知力、3是直线/上

3、任意两点，O是/外一点(如图所示)，对直线I上任意一点、P,存在唯一的实数f满足向量等式OP=d-t)OA+tOB,反乙对每一个实数/,在直线/上都有唯一的一个点尸与之对应.向量等式OP=(-t)OA+tOB叫做直线/的向量参数方程式，其中实数/叫做参变数，简称参数.2.线段中点的向量表达式在向量等式OP=Q-t)OA+tOB^f若舄,则点戶是肋的中点，且OP=^OA+OB),这是线段AB的中点的向量表达式・戸课堂讲义/重点难点，个个击破要点一用基底表示向量B例1如图所示，设M,N,戶是△/BC三边上的点，WB

4、M=^BC,CN=CA,AP=^AB,若4B=a,AC=b^试用d,b^MN.NP,尿表示出来.规律方法(1)用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则结合数乘定头，解题吋要注意解题途径的优化与组合.⑵将向量c用°,"表示，常采用待定系数法，其基本思路是设c=xa+ybf其中x,然后得到关于x,尹的方程组求解.跟踪演练1BD如图，四边形Q4D8是以向量OA=afOB=b为边的平行四边形•又BM=*BC,CN=^CD>试用a、b表示而,ON,MN.解BM=^BC=^A=*㈢_OB)=

5、*(a—b),0N=0C+CN=^db+vdb=ldD=l（a+b）.要点二平面向量基本定理的应用例2如图，在厶ABC^,点M是边的小点，点N在边力C上，RAN=2NC,与BN相交于点求AP:PM的值.解设BM=ex,CN=e2.则AM=AC+CM=-^e2~e}iBN=BC+CN=2ei+e2.・・・/,P,M和B,P,N分别共线，・・・存在实数久，“，使得乔=皿=一壮

6、一3壮2，BP=pBN=2pe+“02・故BA=BP—4P=（N+2“）s+（3人+“）02・而BA=^BC~~CA=2^i3^2，由平面

7、向量基本定理，得久+2“=2,32+〃=3,:.AP=^AM,:.AP:PM=4:1.规律方法（1）充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线•注意方程思想的应用.（2）用基底表示向量也是用向量解决问题的基础.应根据条件灵活应用，熟练掌握.跟踪演练2如图，已知△CUB中，延长BA到C,使AB=AC,D是将丽分成2：1的一个分点，DC和CU交于点E,设OA=a,OB=b.（1）用d,b表示向量荒，DC；⑵若OE=XOA,求实数久的值.解（1）・為为BC的中点，—>I—►—>—>：.OA=^（OB+OC）,0C

8、=2a-b.—►—>—►—>2-►DC=OC-OD=OC-^OB（2）v5e=AO4,ACE=OE-OC=AOA-OC=/M—2a+b=（A—2）a+b.•・•冼与共线，・•・存在实数加，使得CE=mCDy即（久—2）a+方=〃（一2a+专"，即（z+2/w—2）a+^1—专加）/>=0.z+2/w—2=0,Ta,方不共线，•计51一尹=0,1.已知0、A.B三点不共线，设0A=a,0B=b,且P为靠近/点的线段肋的一个三等分点，则方等于（）34-1科C2-3a—-4+-•a3-4答案B解析^AP=^AB,―►—

9、►—►—►1―►—►1―►—►・•・OP=OA+AP=OA+严=OA+^OB~OA)2.已知4D为的屮线，则25等于（）A.AB+ACB.AB-ACC.^AB—^ACD.^AB+^AC答案D解析延长/D到点E,使DE=4D,连接CE,BE,则四边形ABEC是平行四边形，则3.如图，已知AB=a,AC=b.BD=3DC,用a,b表示畐,则近）等于答案4a+4b—►—►—►—