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《高二数学人教B版必修4学案：221平面向量基本定理含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、平面向量向量的分解与向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理【明日标、知重点】1•理解平面向量的基本定理及其意义2了解向量一组基底的含义，在平血内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.掌握直线的向量参数方程式，尤其是线段屮点的向量表达式.4.会应用平面向量基本泄理解决有关平面向量的综合问题.填要点•记疑点1•平面向量基本定理如果⑵和s是一平面内的两个不平行的向量,那么该平面内的任一向量e存在唯一的一对实数如,血，使0=0101+32.2.基底的概念把不共线向量勺，£2叫做表示这一平
2、面内所有向量的一组基底，记为｛引，引+。202叫做向量a关于基底｛ePe2｝的分解式.3.直线的向量参数方稈式已知/、〃是直线/上任意两点，O是/外一点(如图所示)，对直线/上任直一点、P，存在唯一的实数『满足向量等式OP=｛-t)OA+tOB.反之，对每一个实数/，在直线/上都有唯一的一个点P与之对应•向量等式OP=(-t)OA+tOB叫做直线/的向量参数方程式，其中实数/叫做参变数，简称参数.4.线段屮点的向量表达式在向量等式OP=(~t)OA+tOB中，若/=*,则点P是血的中点，且
3、OP=^OA+OB),这是线段AB的中点的向量表达式.探要点•究所然［情境导学］在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？探允点一平而向量基本定理的提出思考1如图所示，创，02是两个不共线的向量，试用6,02表示向量乔，寿,葩,HG、a.答通过观察，可得:=+3^2，CD=—e1►EF=4®—4
4、据上述分析，平面内任一向量a都可以由这个平面内两个不共线的向量引，血表示出來，从而可形成一个定理.你能完整地描述这个定理的内容吗？答若切、©是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数久1，22,使4=恥1+滋2・思考3上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量6,02叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量«的表示式是否相同？平面向量的基底唯一吗？答同一平面内可以作基底的向量有无数组，不同基底对应向量d的表示式
5、不相同.不唯一.只要两个向量不共线，都可以作为平面的一组基底.探究点二平血向量基本定理的证明思考1证明定理中几，"的存在性.如图，引，血是平而内两个不共线的向量，a是这一平面内任一向量，a否表示成Aiei+A2e2的形式，请通过作图探究a与引、间的关系.答如图所示，在平而内任取一点O,作OA=eifOB=^2,OC=a,过点C分别作平行于OB,04的直线，交直线Q4于点M,交直线于点N,有OM=^OA,ON=k2OB,a：OC=dM+ONf:.a=^ei+A2e2.思考2如果°、血是同一平面内的
6、两个不共线的向量，a是和切、©共面的任一向量，且存在实数小、走使0=久1引+久202，证明右,久2是唯一确定的•(提示:利用反证法)答假设存在另一组实数A],*2也能使a=Afe+V2^2成立，贝y202=2/1+久2^2.(Arj—2[)0
7、+(久’2—久2)02=O.Te]、£2不共线,•**A,1—2]=久'2—久2=0，.•.2，]=2[’2'2=^2«・••使a=A}e{+z2e2成立的实数对入，z2是唯一的.例1己知引，血是平面内两个不共线的向量'。=3引_202,b=—2e+
8、e2yc=7®_4£2,试用向量a和〃表示c.解Ta,b不共线，二可设c=xa+ybf贝Uxa+yb=x(^e-2ei)+y{—2e+ei)=(3x—2y)e--{—2x+y)e2=，le—4^2.[3x—2尹=7,又*/e,^2不共线，•：—2x+y=—4.解得x=l,y=—2,.c=a~2b.反思与感悟选定基底之后，就要“咬定”基底不放，并围绕它做中心工作，千方百计用基底表示目标向量.这有时要利用平面几何知识.要注意将平面几何知识中的性质、结论与向量知识有机结合，具体问题具体分
9、析解决.跟踪训练1如图所示，在平行四边形ABCD中，M,N分别为DC,BC的中点，已知AM=c,AN=d,试用c,〃表示乔，AD.解设AB=a,AD=b,贝]]AM=AD+DM=AD+^AB=^a+b,①由①②得即AB=—^c+^d,AD=^c—^d.例2如图，已知△/BC屮，D为BC的屮点，E,F为3C的三等分点,若AB=a.AC=b,用a、〃表示乔、AE.AF.解AD=AB+BD=AB+^BC―►—►—►―►I—►AE=AB+BE=AB+^BCff2—AF=AB+BF=AB+^BC反思与感悟
