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《高一数学人教A版必修4学案：231平面向量基本定理含答案1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2・3平面向量的基本定理及坐标表示平面向量基本定理［学习目标］1.通过研究一向量与两不共线向量Z间的关系体会平面向量定理的含义，了解基底的含义2理解并掌握平血向量基本定理.3.掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义.戸预习导学僅挑战自我•点点落实［知识链接］1.如图所示，€］,02是两个不共线的向量，试用01，02表示向量乔，cb,EF,GH.HG,答通过观察，可得：/B=2e］+3^2，CD=—e+4e2,EF=4®—4^2，GH=—2g［+502，HG=2€］—5^2»a=—2®.2.0能不能作为基底？答由于0与任何向量都是共线的，因此0不能
2、作为基底.3.平面向量的基底唯一吗？答不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面的一组基底.［预习导引］1.平面向量基本定理⑴定理：如果”血是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数入,久2,使a=A,e,+x2^2.⑵基底：把个共线的向量和力叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b,则ZAOB=0°~B(OW0W18O。)叫做向量a与方的夹角.①范围：向量a与〃的夹角的范围是［0。,180°］.②当〃=0。时，a与方同向.①当6>=180°
3、吋，a与方反向.⑵垂直：如杲a与方的夹角是90。，则称a与方垂直，记作alb.戸课堂讲义A重点难点，个个击破例1如图所示，设M,N,P是三边上的点，B要点一用基底表示向量CA,AP=aB,若SB=a,4C=b,试用a,方将顾、NP.砌表示出來.解丽=乔—莎=*乔—詁,=_%+如，PM=—MP=—(MN+NP)=^(a+b).规律方法(1)用基底表示平而向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则结合数乘定义，解题时要注意解题途径的优化与组合.(2)将向量c用a,方表示，常釆用待定系数法，其基本思路是设c=xa+ybf其中x,yWR,然后
4、得到关于x,尹的方程组求解.OA跟踪演练1如图，四边形是以向量OA=a,OB=b为边的平行四边形.又CN=*D,试用a、〃表示加，ON,MN.解BM=^BC=^BA=^(OA-OB)=^a-b)9:.OM=OB+BM=
5、a+活.・・・ON=OC+CN=^OD+
6、db=ldb=l(a+b)fMN=ON—OM=^a~^b.要点二向量的夹角问题例2已知a=bt且d与”的夹角为120°,求a+b与a的夹角，a~b与a的夹角.解如图，作OA=a,OB=b,Z/OB=120。，以㈢，筋为邻辺作平行四边形O4CB,则OC=a+btBA=a~b.・・・
7、a
8、=
9、0
10、,・•・平行四边形O4CB为菱形.・•・疋与鬲的夹角Z/OC=60。,厉与㈢的夹角即为厉与荒的夹角ZABC=30°.:.a+b与a的夹角为60°,a~b与a的夹角为30°.规律方法求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，根据向量夹角的槪念确定夹角，再依据平面图形的知识求解向量的夹角.过程简记为“一作二证三算”.跟踪演练2如图，已知△肋C是等边三角形.⑴求向量越与向量荒的夹角；(2)若E为BC的中点，求向暈庞与西的夹角.解(1)・・・ZMC为等边三角形，・・・ZABC=60(>.如图，延长至点使AB=BD,则乔=丽，AZDBC为
11、向量乔与荒的夹角.•・•ZD3C=12()。，・・・向量乔与荒的夹角为120°.(2)・・・E为BC的中点,:.AE丄3C,:.AE与EC的夹角为90°.要点三平面向呈基本定理的应用例3如图，在中，点M是边EC的中点，点N在边/C上,AN=2NC.AM与3N相交于点P,求AP:PM的值.解设BM=e},CW=e2,则AM=AC+Bd=-3e2-e[,BN=BC+CN=2g+%・・・/,P,M和B,P,N分别共线,・••存在实数久，“，使得乔=人加=一辰
12、一3加2,BP=pBN=2“+/©.故BA=BP—力卩=（2+2“）0]+（3久+“）02・而菇
13、=BC+CA=2el+3e2,口+2“=2,由平面向量基本定理，得…”3/t十“=3,:.AP=^AM,:.AP:PM=4:1.规律方法（1）充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线.注意方程思想的应用.（2）用基底表示向量也是用向量解决问题的基础.应根据条件灵活应用，熟练掌握.跟踪演练3己知如图，厶OAB中，延长必到C,使AB=4C,D是将丽分成2：1的一个分点，DC和0力交于点E,设OA=a,OB=b.（1）用a,〃表示向量疋，DC-,⑵若OE=kOA,求实数久的值.解（I）"为BC中点，：.OA=^OB+OC）,0C=2a~b.―►―►—
14、►―►2~►DC=OC-0D=OC-^OB25=2a—b—^b=2a—^b・（2）V<9E=A
