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《【创新设计】高一数学人教B版必修4学案：231向量数量积的物理背景与定义》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2・3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义［学习目标］1•了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功2掌握平面向量数量积的定义，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.歹预习导学/挑战自我，点点落实［知识链接］1.如图，一个物体在力F的作用下产生位移s,且力F与位移s的夹角为0,那么力F所做的功炉是多少？答FT=
2、F
3、
4、s
5、cos0.2.向量的数量积与数乘向量的区别是什么？答向量的数量积a/是一个实数，不考虑方向；数乘向量加是一个向量，既有大小，乂有方向.［预习导引］1.两个向量的夹角R(1)已知两个非零向
6、量a,方(如图所示)，作OA=a,OB=b,则称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,方〉，并规定它的范围是［0,71］.⑵当〈a,方〉=申时，我们说向量a和向量〃互相垂直，记作a丄力在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量乖直.2.向量在轴上的正射影如图，已知向量a和轴作OA=a.过点O,力分别作轴/的垂线，垂足分别为0,Alf则向量叫做向量a在轴/上的正射影(简称射影)，该射影在轴/上的坐标，称作a在辿上的数量或在轴/的方向上的数量.OA=a在轴/上正射影的坐标记作创，向量a的方向与趾的正向所成的角为0,则市三角函数屮的余弦定义有t7/=
7、a
8、cos0.1.向量的数量积(内积)定义
9、a
10、
11、b
12、
13、cos〈a,b)叫做向量a和b的数量积(或内积),记作a•乃.即a-b=a\bcos〈a,b).2.平面向量的数量积的性质(1)如果e是单位向量,则ae=ea=acos〈a,e)(aHO).(2)a丄b=ab=Q,且ab=Q=^a丄b(aHO,〃HO).(3)tra=
14、a
15、2^a=y[ah.ab(4)cosab)=面祁1绷创HO).(5)0创三
16、a恂.歹课堂讲义全重点难点，个个击破要点一平面向量数量积的基本概念例1判断正误，并简要说明理由.(l)aO=O；(2)0a=0；(3)a与方是两个单位向量，则a2=b2.解上述3个命题中只有(3)正确；对于(1)：两个向量的数量积是
17、一个实数，应有00=0；对于(2)：应有0a=0；对于(3)：
18、a
19、=
20、A
21、=l=>a2=fe2=l.规律方法两向量的数量积是两向量之间的一种乘法运算，它与两数之间的乘法运算有本质的区别，这一类型题，要求学生把握好数量积的定艾、性质.跟踪演练1已知方、c是三个非零向量，贝IJ下列问题中真命题的个数为()®a-b=±a'b^a//b；②a、方反向③a丄b^a+b=a~b；④a=b^a'c=0C
22、.A.1B.2C.3D.4答案C解析①・・Sb=
23、a
24、
25、b
26、cos&,・・・由a/=±
27、啪
28、及a、方为非零向量可得cos<9=±1,：.0=0或7i.：.a//bf且以上各
29、步均可逆，故命题①是真命题.②若a、b反向,则a、方的夹角为兀，「.a力=
30、a
31、0「cos兀=—匕
32、
33、方
34、,且以上各步均可逆，故命题②是真命题.③当a丄方时，将向量a、方的起点确定在同一点，则以向量a、〃为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长相等，即有a+b=a~b.反过来，若a+b=a-b,则以a、方为邻边的四边形为矩形，・・・“丄〃，故命题③是真命题.④当
35、4=
36、创,但a与c的夹角和b与c的夹角不相等时，就有0c
37、邙•©,反过来由a-c=b-c也推不出
38、a
39、=
40、创.故命题④是假命题.综上，在四个命题中，前3个是真命题，第4个是假命题.要
41、点二平面向量数量积的基本运算例2己知
42、d
43、=3,
44、创=6,当®a//by②a丄〃，③a与方的夹角是60。时，分别求a•方.解①当a//b时，若a与〃同向，则它们的夹角0=0。，/.a•ft=
45、a
46、
47、*
48、cos0°=3X6X1=18；若a与〃反向，则它们的夹角&=180。,:.a-b=a\bcos180°=3X6X(-l)=-18；②当a丄方时，它们的夹角0=90。，:.ab=0；③当a与〃的夹角是60。时，有a-b=a\bcos60°=3X6X^=9.规律方法⑴非零向呈共线的充要条件是巾=±
49、外
50、切，因此，当a〃方时，有0。或180。两种情况；(2)非零向量a丄b<^ab=0；
51、(3)两个向量的数量积a-b=a\bcos0,与它们的夹角有关，夹角范围是[0°,180°].跟踪演练2若向量a、b、c满足a+b+c=0,且
52、a
53、=3,b=f
54、c
55、=4,^ab+bc+ca.解方法一由已知得c=a+b,c=—a—b,可知向量a与方同向，而向量c与它们反向.:.ab+bc+ca=3cos0°+4cos180°+12cos180。=3—4一12=—13.方法二V(a+b+cF=+护+
