人教b版必修4高中数学《231向量数量积的物理背景与定义》教学设计

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1、人教B版必修4高中数学《2.3.1向量数量积的物理背景与定义》教学设计一.课标分析：《普通高中数学课程标准（实验）》对本节课的要求有以下三条：（1）通过物理中“功”等事例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系。（3）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。二.教材分析本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书B版必修4的第二章《平面向量》的第3节《平面向量的数量积》的第一课时《向量数量积的物理背景与定义》。数量积是继向量的线性运算（加法、减法、向量的数乘）后的又一种新的

2、运算，它的内容很丰富，包括定义、儿何意义、性质与运算律，而且在物理和儿何屮具有广泛的应用。它与向量的线性运算有着本质的区别，运算结果是一个数量。数量积为解决有关儿何问题提供了方便，可以利用平面向量的数量积求解向量的模及向量的夹角。三.学情分析学生在学习本节内容之前，己经学习了平面向量的线性运算，理解并掌握了向量数乘运算及其儿何意义。学生会产生这样的疑问一一平面向量Z间可以进行向量与向量的乘法运算吗？而学生此时已学习了功等物理知识，能够解决简单的物理问题，并熟知了实数的运算体系，这为学生学习数量积做了很好的铺垫。所以本节课我从学生所熟悉的“功

3、”引入“数量积”，通过学生的自主探究，小组合作探究，教师点评等环节完成本节知识的学习。四.教学目标知识与技能：（1）学生能够通过平移找出两个向量的夹角，掌握夹角的范围。（2）学生了解平面向量数量积的物理背景，理解平血向量数量积的定义及英物理意义，能求出两个向量的数量积。知道夹角的大小决定非零向量数量积的符号，通过用数量积解释物理知识，进一步加深对数量积的定义的理解（3）体会平面向量的数量积与向量的投影的关系，学生能够学会求一个向量在另一个向量方向上的正射影的数量，运用几何直观理解定义的实质，揭示其几何意义。（4）学生能够掌握数量积的五条重要

4、性质，学生能通过公式变形得到夹角公式，能运用数量积解决两个向量的夹角问题，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.学会使用数量积求向量的长度。过程与方法：通过与向量的线性运算的比较，体会类比的数学思想和方法。通过向量数量积的几何图形及解释，体会数形结合的思想力法通过小组合作，讨论交流，比较归纳，提高接受新事物能力。情感态度价值观：通过物理中“功”等事例，提高分析事物间相互联系的能力。根据平面向量数量积物理背景及平面向量数量积的物理意义，培养学科间相互渗透的学习意识。培养观察，抽象概括，互相协作能力，激发学生的兴趣和应用意识。进一步培养学生抽象

5、概括、推理论证的能力。一.重点难点教学重点：平面向量数量积的定义和性质；教学难点：平面向量数量积性质的探究。二.教学过程（一）导入新课请同学思考并回答，下列三种情况力对物体所做的的功怎么计算？学生讨论并回答，一定要阐明力在位移方向上的分力.设计意图：通过功的引入，顺利进入向量和向量的积.（二）新课学习1.两个向量的夹角结合图彖学习向量的夹角以及其范围.Ab设计意图：承上启下.2.向量在轴上的正射影结合力在位移方向上的分力，引入向量在轴上的正射影以及正射影的数量等概念：已知两个非零向量Q与b,把QCOS&（Z?COS0）叫做向量。在b方向上（

6、b在。方向上）正射影的数量（其中&是d与b的夹角）。设计意图：为数量枳的定义以及儿何意义做好铺垫.1.向量的数量积(内积)定义已知两个向量Q与方，我们把数量a\bcos0叫做a与〃的数量积(或内积)，记作ad,即a-b^a\hcosO,其几何意义为：。与b的数量积等于

7、b丨与d在b上的正射影的数量之积.应该注意的问题:(1)数暈积运算结果的符号取决于d与〃的夹角*(&g[0,^])的大小；(2)两个向量的数量积是一个数量，它与两个向量的长度及英夹角有关；(3)符号a.b不能写成ob或axb的形式；(4)找向量的夹角时，应将两向量的

8、起点平移到同一个点上。。与b的数塑积的性质：(1)。丄boa・b=0。(2)已知0为单位向量，则a-eo(3)特别地a^a=a=a或a-[aVa-,这是求向量长度的重要方法。(4)当向量d与b共线同向时，a^b=ab；当向量。与b共线反向时，a^b=-ab一般的:a-b^a\b.心、-rN・b(5)cos=・a\b2.例题讲解例1己知平面上三点A、B、C满足丨乔

9、=2,

10、BC

11、=1,丨鬲

12、二般，求AB・BC+BC・CA^CAAB的值.活动：教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解

13、，先分析题设然后找到所需条件•因为已知乔、BC>鬲的长度，要求得两两Z间的数量积，必须先求出两两Z间的夹角•结合勾股定理可以注意到AABC是直角三角形，然后可利用数形结合来求解结