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《高二数学人教B版必修4学案：121三角函数的定义含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第一章基本初等函数（U）1.2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义【明目标、知重点】1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为口变量的函数2借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的同一三角函数值相等.［填要点•记疑点1.三角函数的定义⑴设角G终边上任意一点的坐标为（X，歹），它与原点的距离为尸，那么叫做角a的余眩,记作cosa,即cosa=p叫做角a的正眩，记作sina,即sina=5叫做角a的正切,记作tana,即tana=^.AeA对于确定的角上述三个值都是
2、唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数侑的函数，统称为三角函数.（2）角。的正割：scca=&±=?角a的余割：csca=-r—=^；sincxy1r角a的余切：8仏=石花=亍.2.正眩、余眩、正切函数值在各象限的符号+y+—y+-y+oxOxOX++••sinacosatana探要点•究所然［情境导学］在初中我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数,角的概念推广后，这样的三角函数的定义明显不再适用，如何对三角函数重新定义，这一节我们就来一起研究这个问题.探究点一锐角三角函数的定义思考1如图，RtN4B
3、C中，ZC=90°,若己知a=3,b=4,c=5,试求c/V”taivl=》=扌;c〃4{anB~a~y思考2如图，锐角。的顶点与原点0重合，始边与x轴的非负半轴重合，在a终边上任取一点P(d,b),它与原点的距离为尸，作丄x轴,你能根据直角三角形中三角函数的定义求出sina,cosa,tana吗？sinA,cosB,sinB,cos/htanA,taM的值.J思考3如图所示，在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.锐角a的终边与单位圆交于P(x,y)点，则有：sin«=v,cos心心tana=-探究点二任意角三角函数的概念思考1任意角三角函数是怎样定义的？①单
4、位圆定义法：设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么：匕叫做、a的正弦，记作sina,即sina=工；丄叫做a的余弦，记作cosa,即cosa卩(儿少=x；三叫做a的正切，记作tana,即tanG=#(xH0).OIx②终边定义法：设角a终边上任意一点的坐标为(x,y),它与原点的距离为尸，则有sinoc=f,cosa=ptan«=2（xH0）,其中r=Jx2+/>0.✓V思考2对于确定的角a,这三个比值是否会随点P在a的终边上的位置的改变而改变呢？答由三角函数的定义知，三角幣数值是一个比值，即一个实数，它的大小只与角Q的终边位置有关，即与角有关，与角次终边上P
5、点的位置无关.思考3在上述三角函数定义中，自变量是什么？对应关系有什么特点，函数值是什么？答（1）当0=号+加伙WZ）时，。的终边在尹轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于0,所以tana=^%意义，除此情况外，对于确定的值上述三个值都是唯一确定的实数.••V⑵当G是锐角时，此定义与初中定义相同；当m不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点P（x,y）,从而就必然能够最终计算出三角函数值.（3）正弦、余弦、•正切函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数.例1已知角。的终边经过点P（2
6、,—3）,求a的六个三角函数值.解因为x=2,p=—3,所以r=^/22+(-3)2=VT3.3竝13x22V13C0Sa=r=VB=13于是since—2cota=—y,rVT3rynscc«=-=2，csca=y=~3•反思与感悟利用三角函数的定义，求一个角的三角函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标X、纵坐标八点P到原点的距离尸.特别注意，当点的坐标含有参数时，应分类讨论.跟踪训练1已知角0的顶点为坐标原点，始边为X轴的正半轴，若P（4,尹）是角0终边上—点，且sin〃=—贝0y=.答案-8解析因为sin&=yA/42+/2y[55所以y<0,且/=6
7、4，所以夕=一8・例2求下列各角的六个三角函数值.(1)0；(2)心(3)y.解(1)当a=0时，x=r,y=0,所以sinO=O,cosO=1,tanO=O,cscO不存在，secO=l,cotO不存在;(2)当a=7i时，x=—r9y=09所以sirm=0,cos兀=—1,tan兀=0.CSC71不存在,secjc=—1,cot兀不存在;a(3)当a=~Y时，x=0,y=—r,所以sin^=—1,cos乎=0,tan乎不存在,esc号=—1,sec号不存在，cot
