高二数学人教B版必修4学案：122单位圆与三角函数线含解析

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1、1.2.2单位圆与三角函数线【明目标、知重点】1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域2了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正眩、余眩和正切3能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.填要点•记疑点1.三角函数的定义域正弦函数y=suvc的定义域是垦；余弦函数y=cosx的定义域是R；正切函数y=tanx的定义TT域是{xxR且㊁,圧Z}.2.三角函数线如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点力，与角a的终边交于P点.过点P作兀轴的垂线垂足为M,过/作单位圆的切线交0P的延长线（或反向延长线）于厂点.单位圆中的有向线段MP、0M>411分别

2、叫做角a的正弦线、余眩线、正切线.记作：sma=MPfcosa=OM,tana=如.即角a的余弦和正弦分别等于角a终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.探要点•究所然［情境导学］角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）.作为角的函数三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，前面我们学习了任意角的三角函数，它主要从数上研究了它们，能否用几何方式来表示三角函数呢？这一节我们就来一起研究这个问题.探究点一三角函数线的概念及作法思考1如图，设角a为第一彖限角，其终边与单位圆的交点为P(x,y),则siw=y,cosa=.x都是

3、正数，你能分别用一条线段表示角a的正弦值和余弦值吗？tana怎样表示？•V答过角a的终边与单位圆的交点P,向x轴作垂线，垂足为M,则

4、MP

5、=尹=sin6G=x=cosa.如图，过点力(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于丿轴，设它与a的终边交于点T,根据正切函数的定义与相似三角形的知识，借助有-向线段04、AT,我们有tana=AT=^.思考2如图，若角a为第三象限角，其终边与单位圆的交点为卩(兀，刃，则sin«=y,cosa=x都是负数，此时角a的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？如何给线段MP、0M规定一个适当的方向，使它们的収值与点

6、P的坐标一致？答过角a的终边与单位圆的交点P,向x轴作垂线，垂足为贝U，—MP=^=sina,_

7、OA/

8、=x=cosa.我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.我们设想将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符号.规定：线段从始点到终点与坐标轴同向时为•正方向，反向时为负方向.即规定当线段0M与x轴同向时，的方向为正向，且有正值x；当线段OM与x轴反向时，0M的方向为负向，且有负值x；其中x为P点的横坐标•这样，无论哪种情况都有OM=x=cosa.同理,当角g的终边不在X轴上时，以M为始点、戶为

9、终点，规定：当线段MP与y轴同向吋，MP的方向为正向，且有正值尹；当线段MP与，轴反向时，MP的方向为负向，且有负值y；其中，为P点的横坐标.这样,无论哪种情况都有MP=y=sina.因此MP、OM这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段.小结我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角a的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.思考3当角a的终边在笫二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？答如图：在单位圆中画出满足sina=2的角a的终边,并求角«的取值集合.解已知角a的正弦值，可知MP=^则P点纵坐

10、标为*.所以在卩轴上取点（0,£）.过这点作X轴的平行线，交单位圆于P

11、,P2两点，则OP,OP2是角a的终边，因而角的集合为{a

12、a=2加+?或a=2如:+罟，MZ}.反思与感悟作已知角的正弦线、余弦线、正切线时，要确定已知角的终边，再画线，同时要分清所画线的方向，对于以后研究三角函数很有用处.跟踪训练1sin#7t,cosgi,从小到大的顺序是答案cos^7c

13、7r

14、-7c解析分别在单位圆中作出它们的三角函数线，由图可知：6八2°•2八cos^7t<0,tan^7r>0,sin^7i>0.9：MP

15、sin^7tl吗？答设角a的终边与单位圆交于点P,过尸作PM_Lx轴，垂足为M,则sina=MPfcosa=OM,OP=l.在RtAOMP中，

16、由两边之和大于第三边得MP+OM>OP,即sina+cos«>l.思考3若a为任意角，根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律探究sin2a