2018版高中数学人教b版必修四学案1.2.2 单位圆与三角函数线

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1、1.2.2　单位圆与三角函数线[学习目标]　1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．[知识链接]1．什么叫做单位圆？答　以坐标原点为圆心，以一个单位长度为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆(注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米)．2．带有方向的线段叫有向线段．有向线段的大小称为它的数量．在坐标系中，规定：有向线段的方向与坐标系的方向相同．即同向时，数量为正；反向时，数量为负．[预习

2、导引]1．三角函数的定义域正弦函数y＝sinx的定义域是R；余弦函数y＝cosx的定义域是R；正切函数y＝tanx的定义域是{x

3、x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}．2．三角函数线如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于P点．过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点．单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT.6要点一　利用三角函数线比较大小例1　分别作出和的正

4、弦线、余弦线和正切线，并比较sin和sin，cos和cos，tan和tan的大小．解　如图，sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT，sin＝M′P′，cos＝OM′，tan＝AT′.显然

5、MP

6、>

7、M′P′

8、，符号均为正，∴sin>sin；

9、OM

10、<

11、OM′

12、，符号均为负，∴cos>cos；

13、AT

14、>

15、AT′

16、，符号均为负，∴tan

17、利用三角函数线比较a＝sin，b＝cos，c＝tan的大小．解　如图，在单位圆O中分别作出角的正弦线M1P1和的余弦线OM2、正切线AT.由＝π－知M1P1＝M2P2，又<<，易知AT>M2P2>OM2，6∴cosπ

18、故满足条件的角θ的集合为.(2)如图②，作直线x＝和x＝分别交单位圆于点M，N，P，Q，连接OM、ON、OP、OQ，则OM、ON、OP、OQ与单位圆围成的区域即为角θ的终边的范围(阴影部分)．故满足条件的角θ的集合为θ2kπ－≤θ<2kπ－或2kπ＋<θ≤2kπ＋，k∈Z.规律方法　用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点：(1)先找到“正值”区间，即0～2π间满足条件的角θ的范围，然后再加上周期；(2)注意区间是开区间还是闭区间．跟踪演练2　已知点P(sinα－cosα，tan

19、α)在第一象限，若α∈[0,2π)，求α的取值范围．解　∵点P在第一象限内，∴∴结合单位圆(如图所示)中三角函数线及0≤α<2π.可知<α<或π<α<.要点三　利用三角函数线求函数的定义域例3　求函数f(x)＝＋ln的定义域．6解　由题意，自变量x应满足不等式组　即则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴.规律方法　求三角函数定义域时，一般应转化为求不等式(组)的解的问题．利用数轴或三角函数线是解三角不等式常用的方法．解多个三角不等式时，先在单位圆中作出使每个不等式成立的角的范围，再取公共部分

20、．跟踪演练3　求函数f(x)＝lg(3－4sin2x)的定义域．解　∵3－4sin2x>0，∴sin2x<，∴－

21、sinx≥的x的取值范围为(　　)A.B.C.D.答案　B4．利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“>”或“<”连接)：(1)sin________sin；(2)cos________cos；(3)tan________tan.答案　(1)>　(2)>　(3)<解析　作出和的三角函数线，如图所示．根据三角函数线得：sin＝MP>sin＝M′P′；6cos＝OM>cos＝OM′；tan＝AT