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1、1999年9月系统工程理论与实践第9期 a一种校正判断矩阵的新方法刘万里(洛阳师范专科学校数学系,河南洛阳471022)摘要:给出一种校正判断矩阵的新方法.该方法利用统计学中随机变量的思想,根据判断矩阵的偏差矩阵,准确地找出偏差大的元素进行校正,并通过算例验证该方法的优越性.关键词:校正;判断矩阵;导出矩阵;偏差矩阵中图分类号:O223ANewMethodofRectifyingJudgmentMatrixLIUWan2li(DepartmentofMathematics,LuoyangTeachersCollege,Luoyang471022)Abstract:Inth
2、ispaper,anewmethodofrectifyingjudgmentmatrixisgiven.Themethodmakesuseofthethoughtofrandomvariableinstatistics.Accordingtothede2viationmatrixofjudgmentmatrixitcanseekaccuratelyelementsoflargerdeviationandmakerectification.Throughthreerealexamples,theauthorchecksthesuperiorityofthemethod.Ke
3、ywords:rectification;judgmentmatrix;derivationmatrix;deviationmatrix1 引言众所周知,层次分析法(AHP)中的判断矩阵当经检验后其一致性不满意时需要进行校正.常见的校正方法大体上分为两类:一类是主观法,即集中专家智慧,靠经验凭感觉进行校正;另一类是客观法,即用定量诊断法,先确诊出判断矩阵的主要毛病所在,然后再由专家们研究适当改变其比例,最终达到满意为止.当然客观法比较科学,所以是人们追求和研究的目标.对此文献[2]用随机向量的观点比较好地解决了这一问题,但还是不够简明.结合文献[1,2]的思想,本文提出一
4、种新的校正方法.该方法更加直观,更准确地指出需要校正元素,然后对症下药进行校正.由实例证明该方法简明准确,是一种非常实用的新方法.2 判断矩阵校正方法原理Taij设A=(aij)n×n为n阶判断矩阵,其排序向量为W=(X1,X2,⋯,Xn)令B=(bij)n×n,其中bij=6aiji(T(i=1,2,⋯,n).记Bj=b1j,b2j,⋯,bnj),则Bj为判断矩阵A的第j个列向量的规一化向量.再令矩阵Cbij=(cij)n×n,其中cij=(i,j=1,2,⋯,n).Xi定义1称矩阵C=(cij)n×n为判断矩阵A的导出矩阵.引理 判断矩阵A为完全一致性矩阵的充要条件是
5、其导出矩阵C中元素全部为1,即a收稿日期:1998209217©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.第9期一种校正判断矩阵的新方法10111⋯111⋯1C=•11⋯1该引理的证明在文献[1]中.证明略.由于人的主观理性判断可认为存在着一致性的趋向,而不一致性判断矩阵的产生可以认为是众多的随机干扰共同作用的结果,所以由引理,一个判断矩阵A的导出矩阵C中的元素Cij可视作以1为期望值2),2的正态随机变量,即Cij～N(1,R而且相互独立,其中R表示每一次建立判断矩阵,其不一致性的程度,或
6、体现了在建立判断矩阵时专家们的平均偏差程度.由上分析可知,一个判断矩阵的导出矩阵中的元素Cij总是围绕1附近左右摆动.一致性满意的判断矩阵,其导出矩阵中元素摆动幅度较小,不满意的判断矩阵,其导出矩阵中元素摆动幅度较大,这一点从文献[1]中自然可看到.定义2 设C=(cij)n×n为判断矩阵A的导出矩阵,则称dij=cij-1为cij的偏差;称由所有偏差构成的矩阵D=(dij)n×n为A的偏差矩阵,即d11d12⋯d1nd21d22⋯d2nD=•dn1dn2⋯dnn由文献[1]可知,当D中的元素绝对值较大时,会引起判断矩阵的不一致性,这时需要对判断矩阵进行校正.显然,首先需
7、要校正的是D中绝对值最大的对应元素.因为它是造成不一致性的主要原因.比如,设dij是D中绝对值最大者,不妨设dij>0则可知A中第i行第j列aij偏大,同时与aij所对应的互反元素aji=131将偏小,且dji<0,所以,适当改变aij的元素值,使其变小,比如变为aij,同时aji=将自然变大,此时ajiaijaij1变为3.这样新的判断矩阵重新用Saaty检验法检验,如果一致性满意,则停止校正,否则再重复上述过程aij进行校正,直到满意为止.3 几点说明T①上述判断矩阵A的导出矩阵中使用了A的理想排序向量,W=(X1,X2,
