一种改进判断矩阵一致性的算法

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1、2000年8月系统工程理论与实践第8期　文章编号:100026788(2000)0820062205一种改进判断矩阵一致性的算法魏翠萍,章志敏(曲阜师范大学运筹所,山东曲阜273165)摘要:本文给出一种算法,通过修改判断矩阵的一对元素,使其一致性得到逐步改进,直到达到决策者要求的任意精度L最后,证明了算法的收敛性并进行了实例分析L关键词:层次分析法;判断矩阵;一致性检验中图分类号:O223aAnAlgorithmtoImprovetheConsistencyofaComparisonMatrixWEICui2ping,ZHANGZhi2min(I

2、nstituteofOperationsResearch,QufuNormalUniversity,Qufu273165)Abstract:Inthispaper,weproposeamethodtomodifyapairofelementsofthecom2parisonmatrix,bywhichtheCIvalueofthemodifiedmatrixislessthanthatoftheo2riginalone;thentheconvergencetheoremforthealgorithmisestablishedanditspracti

3、2calityisshowedbysomeexamples.Keywords:AHP;comparisonmatrix;consistencyindex(CI)1　引言在层次分析法(AHP)中,决策者在单一准则下通过元素的两两比较建立判断矩阵,由判断矩阵确定元素的排序向量,因此,建立合理的判断矩阵是AHP研究和应用的关键L一般来说,由决策者给出的判断矩阵并不具有满意的一致性,特别是当被比较的元素较多时,这就要求分析者对判断矩阵的一致性进行检验,对于对判断矩阵一致性影响较大的元素,提请决策者进行适当的修改,从而使判断矩阵的一致性得到改进L本文以文献[

4、2]中提出的一致性指标为检验标准,提出一种算法,使用该算法可以通过每次修改判断矩阵的一对元素,而使其一致性得到逐步改进,直到达到满意的精度L实例分析表明,该算法计算简便,可只对判断矩阵中某些元素做适当修改L既保存了判断矩阵的大部分信息,又有效地提高了判断矩阵的一致性L2　基本定义及定理1定义1A=(aij)是一个n阶矩阵,如果aij>0,aij=,Pi,j,则称A为正互反矩阵;如果A进一步aji满足aijajk=aik,Pi,j,k,则称A为一致性矩阵Znn[4]定义2　设E=(eij)为正互反矩阵,如果6eij=6eji,Pi,则称E为Ê2标准形

5、Zj=1j=1设A是n阶判断矩阵,A的最小偏差法(LDM)排序向量是下面最优化问题的解a收稿日期:1999204205©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.第8期一种改进判断矩阵一致性的算法63nnwjwiminF(w)=66aijw+aji-2iwji=1j=1n6wi=1i=1nT由文献[1]知:F(w)在Q=w=(w1,w2,⋯,wn)ûwi>0,6wi=1上有唯一极小点,此极小点是方程i=1组nnwjwi6aijw=6aji,i=1,2,⋯,niwjj=

6、1j=1在Q上的唯一解Z[4]定理1　每一个正互反矩阵A均可唯一分解为一个一致性矩阵和一个Ê2标准形的Hadamard乘积Z该一致性矩阵与A具有相同的LDM排序向量ZT由定理1可知,对任意的n阶判断矩阵A=(aij),若w=(w1,w2,⋯,wn)为A的LDM排序向量,wj则E=(eij)=aij为一个Ê2标准形Z若A为一致性矩阵,则eij=1,Pi,j;若A是不一致的,我们可以wi′),其修改方法如下:修改A的一对元素得到矩阵A′=(aij令est=max{eij},则est>1Z构造vE=(egij),其中i,jg1≤est

7、gestgeij=eij,i,j≠s.t.vwig显然E为正互反矩阵,构造矩阵A′=eij.wj对n阶判断矩阵A=(aij),文献[2]给出一种一致性检验公式:1wjwiCI(A)=6aij+aji-2n(n-1)wiwj1≤i

8、分别为A,A′的LDM排序向量,则nn′xj′xiF(w′)=minF(x)=min66aij+aji-2x∈Qx∈Qxi