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1、安徽大学2009-2010学年第二学期《高等数学A（二）、B（二）》考试试卷（A卷）参考答案与评分标准一、填空题（本大题共五小题，每小题2分，共10分）1/π2351、3；2、0；3、∫∫d(yfx,y)dx；4、；5、0arcsiny23二、选择题（本大题共五小题，每小题2分，共10分）6、A；7、D；8、D；9、A；10、A.三、计算题（本大题共五小题，其中第11、12、13题每小题10分，第14、15题每小题12分，共54分）2211.解.设Fxyzxyz(,,)=+−。则曲面在点S(1,1,2)处的法向量为(,,)FFF=−=
2、(2,2,1xy)(2,2,1−)xyz(1,1,2)(1,1,2)由题设可知，平面Π通过法线L，故12+ab−+=0,(1,,1)(2,2,1)a−⋅−=0⎧ab+=135即⎨，由此解得ab=−,.=⎩23a+=022y−x12.解：令Pxy(,)==,(,)Qxy，则I=+PxQydd，x22++yx2y2î∫L2222∂−Qxy∂P当xy+≠0时，==。222∂+x()xy∂y222取一小圆周Cxy:+=ε，ε>0充分小，使得C完全位于L所围成的区域内，εε取逆时针方向。设D为由L与C所围成的区域，则由Green公式得εε∂∂Q
3、P∫∫PxQydd+=∫(−)dxyd=0，LC+εεD∂∂xy所以∫∫PxQydd+=−+PxQyddLCε2π(sin)(εθεθεθεθ−−sin)(cos)(cos)2π=−dθ==d2θπ∫0ε2∫013.解：设x==Rucos,yRusin,z=v，则Σ对应于Du:0≤≤≤2,0πv≤h。高数A(二)、B(二)答案（A卷）1xRu=−=sin,yRucos,z=0，xyz=0,==0,1uuuvvv22故ERFG==,0,=1，EGF−=R.v于是，原式=Rdduv∫∫22Rv+D2πhv122h==RuddvR⋅2π⋅l
4、n(Rv+)
5、∫∫22000R+v22222R+h=+ππRRh[ln()2ln]−R=2Rln。R∞∞1nn22nn14.解：由题设，f′()xx==−=−2∑∑(1)()(1)x。1+xnn==00∞∞21n+xxxnn2n所以f()xf=+∫′()dttf(0)=−∑(1)∫ttd=−∑(1)，0n=00n=021n+上述级数的收敛域为[1−,1]，又因为f()x在x=1处连续，故令x=1，可得∞n1π∑(1)−=f(1)=.n=021n+4∂∂zuxx∂∂zu15.解：（1）==f'()uf'()ueyfsin,=='()uf
6、'()uecosy∂∂xx∂∂yy2∂z22xx=+f′′()sinueyfue'()sin,y2∂x2∂z22xx=−f′′()cosueyfue'()sin.y2∂y222x∂∂zz2x（2）将（1）中结果代人方程，得ez=+=fue''()，即fufu''()−=()022∂∂xy2这是一个齐次线性常系数方程，相应的特征方程为λ−10=，特征根为λ==1,λ−112u−u故f()uC=+eCe，其中CC,为任意常数。1212四、应用题（本大题共两小题，其中第16题10分，第17题6分，共16分）16.解：设所围成的圆的半径为x，
7、长方形的长、宽分别为y,z。高数A(二)、B(二)答案（A卷）22原问题转化为求函数Sxy=+πz在条件22πx+()yzl+=下的最大值。2为此，构造Lagrange函数Lxyz(,,,)λπ=x+−yzλπ(2x++−2y2zl)。Lx=−=22ππλ0,Lz=−=20λ，Ly=−=20λ，Lx=222π++−=yzl0。xyzλl得xy==λ,z=2λ，代入L=0得λ=。λ28π+ll即xy==,.z=28π++π417.解：由质量公式得M=∫ρ(,)dxysL12=+∫x14dxx0311212=+(14x)
8、=(551).−
9、01212五、证明题（本大题共两小题，其中第18题6分，第19题4分，共10分）n+11118.证明：ln=+ln(1)为的单调递减，且nlimln(1+)=0。nnn→+∞n∞nn+1故由Leibniz判别法可知，∑(1)ln−收敛。n=1nn+1ln∞∞nn+11n+1但lim=limnln=1，且∑发散，故由比较判别法的可知，∑lnnn→+∞1→+∞nn=1nn=1nn发散。综上所述，原级数条件收敛。x19.证明：设Fx()=∫ftt()d，则Fxfx'()=().011y左边=∫∫∫dd()()()xyfxfyfzdz0xx1
10、111zy==d(xfxfyFz)()()
11、dy=−d(xfxfyFyFxy)()[()()]d∫∫0xzx=∫∫0x1121y=112=−f()[()xFyF()]
12、dxx=−f()[(1)xFFxx()]d∫02yx
