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时间:2019-03-07
《05-06-2高数(a、b)期末参考答案new》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高等数学05-06-2(A、B)期末试卷解答一.填空题(本题共9小题,每小题4分,满分36分)2x2∫sindtt101.lim=;6x→0x33x12.曲线y=的斜渐近线方程是yx=−1;22(1+x)2dy13.设yyx=()是由方程yyxln=ln所确定的隐函数,则=;dxx(1ln)+yπ24.设f在[0,]π上连续,且f()sinxxf=+∫()dxx,则f()x=sinx+;01−π21,0+2、7.曲线yx=ln相应于13≤≤x的一段弧长可用积分∫dx表示;1x−x2x8.已知y=e与y=e分别是微分方程ya′′′+yb+=y0的两个特解,则常数12a=−1,,常数b=−2;9.fx′′()0=是yfx=()以点(,())xfx为拐点的非充分非必要条件。000二.计算下列各题(本题共4小题,每小题7分,满分28分)x221.设f()xtx=−∫sintdt,求f′()x021x22解令x−=tufx,()=∫sinduu,f′()xxx=sin20共4页第1页xe1−2.dx∫2xe4+xxxe1−e11e1x原式=dddxxx3、=−=−arctande∫∫∫222xxx∫xx2e4+++e4e422ee4()+xxx1e11exx1e112=−arctan−=−dearctanx+lne()+4+C∫xx2224ee+42248π243.∫xsinxx−sindx0ππ24πππ解∫xsinxx−sindx=cossindxxx=π2cossindxxx=02∫0∫02+∞dx4.∫12x221xx−+1+∞ddxt11dt解.令x=,∫∫=(3分)=∫t10xxx22122−+tt−+2201(1)+−t221=−ln(tt1++1(−=+1))04、ln(12)2三.(本题满分9分)设有抛物线Γ:(yab=−xab>>0,0),试确定常数a、b的值,使得(1)Γ与直线yx=−+1相切;(2)Γ与x轴所围图形绕y轴旋转所得旋转体的体积最大。121解设(,)xy为切点,yx′()2=−bx=−1,x=,abx−=−+x1,a+=1,00000002b4ba2b22πaVa()2=−ππ∫xabxx()d==2a(1)−a02b222令Va′()2(23)0,=−πaa==a,当0,当a>时,33323Va′()0<,a=是唯一的极大值点,因而是最大值点,b=。345、共4页第2页四.(本题共2小题,满分14分)第3页22xx1.(本题满分6分)求微分方程2e1xy(−)ded0x+=y的通解。2−x解yx′+=22yxe,−∫∫22xdx−−xx22xdx2−x2ye=+C∫2exeedxC=+xe2x92.(本题满分8分)求微分方程yyx′′−2e′=+满足初始条件yy(0)==2,(0)′的4特解。2x解yCC=+e,12*xx(1+)解yyx′′−=2′得一特解y=−,142x*21x解yy′′−=2e′得一特解yx=e,2222xxxx(1+)1yCC=+ee−+x124291196、由yy(0)==2,(0)′得CC+=−2,2C+==,CC=1,1221244241(2xxx+1)yx=+1e−+124五.(本题满分7分)试证:(1)设u>e,方程xlnxu=在x>e时存在唯一的实根x()u;1lnu(2)当u→+∞时,是无穷小量,且是与等价的无穷小量。x()uu解(1)设fxxxuf()=−=ln,(e)e−u<=−0,()fuuuuln>0f′()1lnxx=+>0,()fx严格单增,所以方程xlnxu=存在唯一实根x()u.1lnxu()lnu1(2)e(),<<<=xuu0<→→0,u+∞,li7、m=0,xu()uuu→+∞xu()共4页第3页uuuln−lnln1uxln()uulnlnuu−lnlnxu()><,⋅=<=1,lim=1lnuuxln()lnuuuulnlnu→+∞lnu1ulim⋅=1u→+∞xu()lnu111六.(本题满分6分)证明不等式:ln2nn+11<++++L<+1ln2−1,3521n−其中n是大于1的正整数。111解设k为正整数,kxk<≤+1,≤<,212121kxk+−−111k+1三边积分得<<∫dx,21kxk+−−k2121左边关于kn=−1,2,L,1相加得:111n1+++L<∫d8、lx=n21n−,3521nx−−121右边关于kn=1,2,L,相加得:111n+111d++++L>∫x=ln2n+1,3521nx−−121所以111ln2nn+<++++11L<+1l
2、7.曲线yx=ln相应于13≤≤x的一段弧长可用积分∫dx表示;1x−x2x8.已知y=e与y=e分别是微分方程ya′′′+yb+=y0的两个特解,则常数12a=−1,,常数b=−2;9.fx′′()0=是yfx=()以点(,())xfx为拐点的非充分非必要条件。000二.计算下列各题(本题共4小题,每小题7分,满分28分)x221.设f()xtx=−∫sintdt,求f′()x021x22解令x−=tufx,()=∫sinduu,f′()xxx=sin20共4页第1页xe1−2.dx∫2xe4+xxxe1−e11e1x原式=dddxxx
3、=−=−arctande∫∫∫222xxx∫xx2e4+++e4e422ee4()+xxx1e11exx1e112=−arctan−=−dearctanx+lne()+4+C∫xx2224ee+42248π243.∫xsinxx−sindx0ππ24πππ解∫xsinxx−sindx=cossindxxx=π2cossindxxx=02∫0∫02+∞dx4.∫12x221xx−+1+∞ddxt11dt解.令x=,∫∫=(3分)=∫t10xxx22122−+tt−+2201(1)+−t221=−ln(tt1++1(−=+1))0
4、ln(12)2三.(本题满分9分)设有抛物线Γ:(yab=−xab>>0,0),试确定常数a、b的值,使得(1)Γ与直线yx=−+1相切;(2)Γ与x轴所围图形绕y轴旋转所得旋转体的体积最大。121解设(,)xy为切点,yx′()2=−bx=−1,x=,abx−=−+x1,a+=1,00000002b4ba2b22πaVa()2=−ππ∫xabxx()d==2a(1)−a02b222令Va′()2(23)0,=−πaa==a,当0,当a>时,33323Va′()0<,a=是唯一的极大值点,因而是最大值点,b=。34
5、共4页第2页四.(本题共2小题,满分14分)第3页22xx1.(本题满分6分)求微分方程2e1xy(−)ded0x+=y的通解。2−x解yx′+=22yxe,−∫∫22xdx−−xx22xdx2−x2ye=+C∫2exeedxC=+xe2x92.(本题满分8分)求微分方程yyx′′−2e′=+满足初始条件yy(0)==2,(0)′的4特解。2x解yCC=+e,12*xx(1+)解yyx′′−=2′得一特解y=−,142x*21x解yy′′−=2e′得一特解yx=e,2222xxxx(1+)1yCC=+ee−+x12429119
6、由yy(0)==2,(0)′得CC+=−2,2C+==,CC=1,1221244241(2xxx+1)yx=+1e−+124五.(本题满分7分)试证:(1)设u>e,方程xlnxu=在x>e时存在唯一的实根x()u;1lnu(2)当u→+∞时,是无穷小量,且是与等价的无穷小量。x()uu解(1)设fxxxuf()=−=ln,(e)e−u<=−0,()fuuuuln>0f′()1lnxx=+>0,()fx严格单增,所以方程xlnxu=存在唯一实根x()u.1lnxu()lnu1(2)e(),<<<=xuu0<→→0,u+∞,li
7、m=0,xu()uuu→+∞xu()共4页第3页uuuln−lnln1uxln()uulnlnuu−lnlnxu()><,⋅=<=1,lim=1lnuuxln()lnuuuulnlnu→+∞lnu1ulim⋅=1u→+∞xu()lnu111六.(本题满分6分)证明不等式:ln2nn+11<++++L<+1ln2−1,3521n−其中n是大于1的正整数。111解设k为正整数,kxk<≤+1,≤<,212121kxk+−−111k+1三边积分得<<∫dx,21kxk+−−k2121左边关于kn=−1,2,L,1相加得:111n1+++L<∫d
8、lx=n21n−,3521nx−−121右边关于kn=1,2,L,相加得:111n+111d++++L>∫x=ln2n+1,3521nx−−121所以111ln2nn+<++++11L<+1l
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