10-11(2)高数a(二)、b(二)答案new

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1、安徽大学2010—2011学年第二学期《高等数学A（二）、B（二）》期末考试试卷（A卷）参考答案与评分标准一、填空题（每小题2分，共10分）2111+−1yπ81．±−−(1,2,2)；2．0；3．∫∫d(yfx,y)dx；4．；5．−．30y25二、选择题（每小题2分，共10分）1．D；2．C；3．B；4．B；5．A．三、计算题（其中第1、2、3小题每小题10分，第4、5小题每小题12分，共54分）y1．解．设fxy(,)=arctan，x−y1x1则f(1,1)==−，f(1,1)==x22y22xy+

2、2xy+2(1,1)(1,1)11π故所求切平面方程为−−+−+(1xyz)(1)(1−−=)()0，224π整理得xyz−+=2．2πz−xy−−114法线方程为==，−−1/21/21πz−xy−−114整理得==．−−112222．解．空间区域Ω在xoy平面上的投影为Dx={(,)

3、yxy+≤4}．41222则原式=(dzzxy)dd=−[16(x+yx)]ddy∫∫∫xy22+∫∫2DD1222122π4=−+8dd∫∫xyx∫∫(y)ddxy=32πθ−⋅∫∫00drrdr22DD13264=−3

4、2π⋅⋅=2ππ．2333．解．将曲面Σ向zox平面投影得Dx={(,)

5、1yxz−≤≤1,0≤≤1}．zx第1页共3页222⎛⎞⎛⎞∂∂yyx1dSz=+1⎜⎟⎜⎟+ddx=+1+0ddzx=ddzx．⎝⎠⎝⎠∂∂xz1−x21−x221111ddzxπ由对称性可得原式=⋅2dzxd=2=．∫∫11++zz2211−x22∫01∫−−x2Dzx⎛⎞x−24．解．(1)fx()==+−=++lnxln[2(x2)]ln2ln1⎜⎟．⎝⎠2∞n−1(1)−n当x∈−(1,1]时,ln(1+=x)∑x．n=1n

6、∞n−1x−2(1)−n故当∈−(1,1]时,即x∈(0,4]时,lnxx=+ln2∑n(−2)．2n=1n⋅2∞n−1(1)−(2)在(1)中,令x=3可得ln3=+ln2∑n,n=1n⋅2∞n−1(1)−于是∑n=−ln3ln2．n=1n⋅2⎧∂∂uv1=+vu⎪⎪∂∂xx5．(1)方程组两边同时对x求偏导数得⎨⎪0=−∂∂uvcosuvsin⎪⎩∂∂xx∂∂uvsinvucos解方程可得==,．∂+xuuvvxuuvcossin∂+cossinv∂zz∂(2)方程sinz−=xyz0两边同时对求偏导得

7、ycoszx−(z+=y)0,(*)∂∂yy∂zxz由此可知=．∂−ycoszxy222⎛⎞∂∂zz∂z∂z∂z方程(*)两边再对y求偏导得−+−sinzz⎜⎟cosxy(++)=022⎝⎠∂∂yy∂y∂y∂y由此解得2∂∂22zz1s⎡⎤⎛⎞∂zxz2inz+2x2zcosz−2x3yz=+⎢⎥sinzx⎜⎟2=．23∂−∂∂yzcosxyyy⎢⎥⎝⎠(cosz−xy)⎣⎦四、应用题（每小题8分，共16分）第2页共3页1．解．构造Lagrange函数22Lxyz(,,,,)λμ=+++x23yzλ(x+−

8、+y2)μ(yz+−1)．22求偏导得Lx=+12,λLy=+22λμ+,L=+3μ,LxyLyz=+−=+−2,1,xyzλμ联立解得xyz=−1,=1,=0或xyz=1,=−1,=2．代入原函数得ff(1,1,0)1,(1,1,2)5−=−=．故所求最大值为5,最小值为1.2．解．所求金属丝的质量为ms=∫ρd．L222t弧微分dsx=++['()]ty['()]tz['()]dtt=3det．11133tt−−1故me==3dtedt=(1−e)．∫∫00222e2t五、证明题（每小题5分，共10分）

9、x2011−x1．证明．设fx()=，则fx'()=，显然x≥2011时，x+20112xx(+2011)fx'()≤0，即f()x单调递减.从而当n≥2011时,f()n单调递减.又因为∞nn−1nlim=0,故由Leibniz判别法可知,∑(1)−收敛.n→∞n+2011n=1n+2011∞n1另一方面,因为limn=1,∑发散,故由比较判别法极限形式可知,n→∞n+2011n=1n∞∞nn−1n∑发散.综上所述可知,∑(1)−条件收敛.n=1n+2011n=1n+20112.证明：由Stokes公式可

10、得左=−+[(RQP)cosαβ(−+RQ)cos(−P)cos]dγS∫∫yzzxxyΣ222≤−⎡⎤()QP+()RQ−+()PR−(cos222αβγ++coscos)dS∫∫⎢⎥⎣⎦xyyzzxΣ222≤−max()QPxy+()RQyz−+()PRzx−⋅∫∫dS=右(,,)xyz∈ΣΣ其中(cosα，，cosβγcos)为曲面Σ单位法向量的方向余弦.第3页共3页