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1、安徽大学2010—2011学年第一学期《高等数学A(一)、B(一)》（B卷）考试试题参考答案及评分标准一、填空题（本题共5小题，每小题2分，共10分）π1π21.2.yxe=+23.4.05.(221)−223二、单项选择题（本题共5小题，每小题2分，共10分）6.C7.C8.安大网络�店D9.B10.A三、计算题（本题共7小题，其中第11-12题每题7分，第13-17题每题8分，共54分）nn11111.（本小题7分）≤++()??+≤22222()(1nn+++n)(2n)()(1nn++n)nnli
2、m=0，lim=022n→+∞()nn+n→+∞(1n+)111所以由两边夹定理，lim(+++??)=0222n→0(1nn++)(2)()n+nlncosxcscx2cscx2lncosx212.（本小题7分）lim(cos)x=lime=limesinxx→0x→0x→011−−2=lime2coscosxx=e2x→0yarctan13.（本小题8分）xye22+=x''两边同时x对求导，带入原式化简有：x+yy=−xyy'x+y所以y=x−y''"(1+−yxyxy)()(−+−)(1y)两边求
3、导：y=2()xy−22"2(x+y)带入一阶导数，化简得：y=3()x−y第1页共4页14.（本小题8分）dxdx(1txt+=an)sec2tdt∫2=∫2=∫=∫sectdtxx++22(1x++)1sect2=lnsectt++tanC=lnx+++++2xxC2(1)15.（本小题8分）uπππtan=tdxdx(2)du21124=4=2=⋅⋅dt∫01sin+2x∫03cos2−x∫03cos−u∫01−t21+t23−21+t112=⋅dt=arctan2∫012+t22安大网络�店1'y
4、−∫dxc16.（本小题8分）齐次方程y+=0的通解为y=cex=∈,cRxxcx()'x设非齐次方程的通解为y=，带入原方程有cx()=−xe，xxxxcx()=−∫xedx=−xeeccR++∈,xx1原方程通解为yx=−(eec++⋅)。由条件y(1)=0知c=0xxx1所以原方程的一个特解为yx=−()ee+⋅x+∞dx2dx+∞dx17.（本小题8分）∫1=∫1+∫2xx−1xx−1xx−1221dxxt−=12tdt1π瑕积分==2arctan
5、t=，收敛∫∫2010xx−1(1tt+)22+
6、∞dxxt−=1+∞2dt+∞π无穷区间广义积分===2arctan
7、t，收敛∫2xx−1∫1(1t2+)12+∞dx所以积分收敛，∫=π1xx−1四、综合分析题（本题共2小题，每小题8分，共16分）dyx18.=+1[(∫tytd−)],ty(0)=1dx0"方程两边求导有：y=−xy"对应齐次方程为yy+=0第2页共4页2特征方程为λ+=10，λ=±i所以齐次方程的通解为ycxc=+sincos,xccR∈121,2*设原方程特解为y=+axb，带入有ab=1,=0所以原方程通解为：ycxc=++∈s
8、incosxxccR,121,2'由条件知：y(0)1=，y(0)1=知cc=0,=112原方程满足条件的特解为yx=+cosx'(未利用条件y(0)1=扣一分安大网络�店)19.(1)若a=0时11A=+∫axbdx=∫bdxb=，002则VA=π。(2)若a≠0时，由几何对称性仅需讨论a>0情形：设直线与x截距为，则直线可表为tyaxt=(−)，⎧att()1−<,021⎪112A=−=−axtdx⎨at[()+≤],0t≤1∫024⎪1at()−>,t1⎩2再由几何对称性，t<0与t>1情形相同，i
9、)当t<0时：22122112212Vaxtd=−π∫()x=−πat[()+]=+πAππaA>021212ii)当0≤≤t1时，可得24AaA≤≤，221132242Vaxtd=−π∫()x=−π(3)aA−+ππA≥A。06232综上所述，当a=0,b=±A时，旋转体积最小，最小值为πA。五．证明题（本题共2小题，其中第20题6分，第21题4分，共10分）20.（本小题6分）证明:由积分中值定理：112f(0)==3∫2fxdx()3⋅⋅f()η=f()η，η∈[,1]333'由罗尔定理：存在ξ∈⊂
10、(0,)η(0,1)，f()0ξ=第3页共4页1221.（本小题4分）f(0)=+fxfx()'()(0−x)+f"()(0ξ−x)1212f(1)=+−fxfx()'()(1x)+f"(ξ)(1−x)221122两式相减有：0=+f'()xf"()(1ξξ−−xf)"()x21221122f'()xfxf=−"()ξξ"()(1−x)122211221122f'()xfxf≤+"()ξξ"()(1−x)≤⋅⋅+⋅⋅−22x(
