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1、安徽大学2010—2011学年第一学期《高等数学A（三）》（B卷）考试试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1.A2.C3.D4.C5.B二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）A+2E936.7.248.9.10.[19.87,20.15]2644三、计算题（本大题共10分）11.解：将D的第2列直到第列依次加到第1列得,nnn∑ai−ma2?ani=11a2?annn1a−m?aD=∑ai−ma2−m?an=(∑a−m)2n,nii=1i=1????????
2、n1a?a−m2n∑ai−ma2?an−mi=1再将第1行乘上−1分别加到第2行直到第行得,n1a?a2nn0−m?0nn−1Dn=(∑ai−m)=(−m)(∑ai−m).i=1????i=100?−m四、分析题（本大题共6小题，共62分）12.（本小题12分）解：方程组的增广矩阵为:⎛a111⎞⎛11a−2⎞⎛11a−2⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟A=⎜1a11⎟→⎜1a11⎟→⎜0a−11−a3⎟⎜11a−2⎟⎜a111⎟⎜01−a1−a21+2a⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎛11a−2⎞⎜⎟→⎜0a−11−a3⎟,⎜⎟⎝001
3、(−a)(2+a)4+2a⎠于是,(1)当a=1时,r(A)=1,r(A)=3,方程组无解;(2)当a≠1且时a≠−2,r(A)=r(A)=3,方程组有唯一解;第1页共5页(3)当a=−2时,r(A)=r(A)=2,方程组有无穷多解.当方程组有无穷多组解时,此时⎛−2111⎞⎛11−2−2⎞⎜⎟⎜⎟A=⎜1−211⎟→⎜0−333⎟,⎜⎟⎜⎟⎝11−2−2⎠⎝0000⎠对应的线性方程组为:⎧x1+x2−2x3=−2⎨−3x+3x=3⎩23T令x=0，得到原非齐次线性方程组的一个特解：γ=(−,1−)0,1
4、.30原非齐次线性方程组对应的导出组为:⎧x1+x2−2x3=0⎨,−3x+3x=0⎩23T令x=1，得到基础解系为η=)1,1,1(；3故原非齐次线性方程组的结构解为:X=γ+kη，k为任意常数。013.（本小题12分）(1)解：二次型f及其标准形矩阵分别是⎛1−2−2⎞⎛3⎞⎜⎟⎜⎟A=⎜−21a⎟与Λ=⎜3⎟.⎜⎟⎜⎟⎝−2a1⎠⎝b⎠在正交变换下,A与Λ相似,故有1+1+1=3+3+b,2222以及3E−A=22−a=−(2a+)2=0,2−a2联立上述两式可得a=−,2b=−3.(2)由(1)知
5、,矩阵A的特征值为,3,3−3,TT对于λ=3，解方程组3(E−A)X=0，可得到基础解系η=(−)0,1,1,η=(−)1,0,1;12即属于λ=3的线性无关的特征向量.T对于λ=−3，解方程组(−3E−A)X=0，可得到基础解系η=)1,1,1(;即属于3第2页共5页λ=−3的线性无关的特征向量.因为属于λ=3的特征向量η,η不正交,故需Schmidt正交化,12T(η2,β1)1T令β=η=(−)0,1,1,β=η−β=(−,1−)2,1.11221(β,β)211再单位化，得到⎛−1⎞⎛−1⎞⎛1
6、⎞1⎜⎟1⎜⎟1⎜⎟γ1=⎜1⎟,γ2=⎜−1⎟γ2=⎜1⎟,2⎜⎟6⎜⎟3⎜⎟⎝0⎠⎝2⎠⎝1⎠⎛−/12−/16/13⎞⎜⎟从而Q=⎜/12−/16/13⎟.⎜⎟⎜0/26/13⎟⎝⎠14.（本小题10分）解：设A=“乙在当天收到甲发出的e-mail”,B=“甲在当天收到乙的回复”,则依题意得n−11n−1P(A)=，P(A)=，P(BA)=，P(BA)=0.nnn（1）由全概率公式有P(B)=P(A)P(BA)+P(A)P(BA)2n−1n−11⎛n−1⎞=×+×0=⎜⎟.nnn⎝n⎠（2）由Bay
7、es公式以及(1)的结果得n−11×P(A)P(BA)nnn−1P(AB)===.2P(B)⎛n−1⎞2n−11−⎜⎟⎝n⎠15.（本小题8分）解：(1)由题意得(X,Y)的联合分布列为X12Y11/92/91/322/94/92/31/32/3于是P(X=Y)=P(X=Y=)1+P(X=Y=)2=9/1+9/4=9/5.第3页共5页(2)由于P(Z=)2=P(X+Y=)2=P(X=,1Y=)1=9/1,P(Z=)3=P(X+Y=)3=P(X=,1Y=)2+P(X=,2Y=)1=9/4,P(Z=)4=P(
8、X+Y=)4=P(X=,2Y=)2=9/4.故Z=X+Y的分布列为⎛234⎞⎜⎟⎜⎟⎝9/19/49/4⎠16.（本小题12分）解：（1）首先,(,XY)的联合概率密度为⎧122⎪,x+y≤,1f(x,y)=⎨π，⎪⎩,0其他,+∞由f(x)=f(x,y)dy得,则当−1≤x≤1时,X∫−∞22+∞1−x121−xf(x)=f(x,y)dy=dy=,X∫−∞∫−1−x2ππ⎧21−x2⎪,−1≤x≤,1从而fX(x)=⎨π⎪⎩
