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1、安徽大学2009-2010学年第一学期《高等数学C（一）》（A卷）考试试题参考答案与评分细则一、填空题（本题共5小题,每小题2分，共10分）2nπxxnn−11.x=1；2.；3.x−++−?(1)+ox()；4.x=0；5.(0,+∞).22n二、选择题（本题共5小题,每小题2分，共10分）6.C；7.D；8.B；9.A；10.B.三、计算下列极限（本题共8小题,每小题6分，共48分）()nnnn++−nn+11.解:原式==limlimnn→+∞→+∞nnnn+++nnnn+++n1+n1==lim.n→
2、+∞2nn+11++nx−1112.解:x−<≤1[]xx,所以<[]1x≤,xxx−1又因为lim==lim11.xx→+∞x→+∞1由夹逼定理可知lim[]1x=.x→+∞x1/nn(3−1)22n⎡⎤⎛⎞⎛⎞nn−−⎢⎥n31−313113,解:原式=+=+lim1⎜⎟⎜⎟lim1nn→+∞⎜⎟⎜⎟22→+∞⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎣⎦1/n131−ln3lim==ee21n→∞/n2=3.2xx⋅2sin1cos−−xxx(1cos)2114.解:原式==limlim=lim=333xx→→00ln(1+x)
3、ln(1+x)x→0x2x215.解:令x=t,则dx=2ttd1arcsint原式==∫∫2dtt2arcsindtttt2=−2(arcsintt∫d)t=+2(arcsinttt1−)+C21−t=+2(xarcsinxx1−)+C16.解:方法一.当x∈[0,3]时,2⎧⎪(1xe−≤),(1x−)0x≤2,fx(1−=)⎨⎪⎩ex,2<≤3.于是,232(1x−)原式=−∫∫(1x)dexe+dx0221(1x−)2=+ee=e.20方法二,令x−=1t,则ddx=t,2122t于是原式=∫f()d
4、tt=+∫∫teddtet=e.−1−1117.解:由对称性可知,212x原式=2d∫x0211+−x12=−4(11∫−x)dx01π2=−441d∫−xx=44−⋅=−4.π0422dyxy+yddyu18.解:原方程可化为=,令u=,则yu==x,ux+,dxxyxddxxd1u1于是原方程可化为ux+=+u,即uud=dx,dxux12222两边积分得ux=ln
5、
6、+C.变量代回得原方程通解为y=xxC(ln+)12将xy==1,2代入通解得C=4.222故原方程在给定初始条件下的特解为yxx=(ln
7、+4)四、分析计算题（本题共两小题,其中第19题10分,第20题12分，共22分）219.解:将x=−1代入曲线方程,解得y=−2.方程两边对x求导得2233cxy++y′′os()(1ππyxyy−+)sin()π=0.1将x=−1,y=−2代入上式解得y′(1)−=−,即曲线在点(1,2)−−处的切线斜率为31−,3从而曲线在点(1−−,2)处的法线斜率为3,故法线方程为yx=3+1.2220.解:曲线y=x与x=y的交点为(0,0)与(1,1).因此，图形D为：2x≤≤yxx,0≤≤1(1)图形D的面积
8、为112Sx=−=∫
9、
10、xdx.0311222(2)Vx=−π[()dx()d]xxx∫∫003=π103由对称性可知,V=π.y10五、证明题（每小题5分，共10分）21.证明:设f()xf==max(),()xgxmax()gx,由题设可知f()()xg=x.1212xab∈∈(,)xab(,)令Fx()=−fxgx()().显然Fa()0.=Fx()()()()()0=−=−≥fxgxgxgx,11121Fx()()()()()0=−=−≤fxgxfxfx22221由零点定理可知,存在x∈(,)ab,使
11、得Fx()0=.33由Rolle定理知,存在ξ∈(,),ax,使得F′()0ξ=.322.证明:xx令Fx()2=−∫∫tfttax()d(+)ftt()d.显然Fa()0.=aa3xFx′()2()(=−xfxaxfx+−)()∫ftt()dax=−()xafx()(−∫ftt)dax=−∫[()()]dfxftta因为f在[,a+∞)上单调递增,故当atx≤≤时,fxft()−()0≥.于是Fx′()0≥,故Fx()在[,a+∞)单调递增,从而Fb()≥=Fa()0.bb即()abfxx+≤∫∫()d2(
12、xfxx)d.aa4
