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1、第十一章无穷级数infiniteseries1常数项级数的概念收敛级数的基本性质收敛级数的必要条件小结思考题作业第十一章无穷级数constantterminfiniteseries第一节常数项级数的概念和性质2为什么要研究无穷级数是进行数值计算的有效工具(如计算函数值、出它的威力.在自然科学和工程技术中,也常用无穷无穷级数是数和函数的一种表现形式.因无穷级数中包含有许多非初等函数,故它在积分运算和微分方程求解时,也呈现如谐波分析等.造函数值表）.级数来分析问题,常数项级数的概念31.级数的定义(常数项)无穷级数一般项如以上均为(常
2、)数项级数.(1)常数项级数的概念一、常数项级数的概念4这样,级数(1)对应一个部分和数列:称无穷级数(1)的2.级数的收敛与发散概念按通常的加法运算一项一项的加下去,为级数(1)的无穷级数定义式(1)的含义是什么?也算不完,永远那么如何计算?前n项和部分和.常数项级数的概念5部分和数列可能存在极限,也可能不存在极限.定义则称无穷级数并写成即常数项级数收敛(发散).(不存在)存在常数项级数的概念6对收敛级数(1),为级数(1)的余项或余和.显然有当n充分大时,级数的敛散性它与部分和数列是否有极限是等价的.(1)称差误差为常数项级数
3、的概念7例而所以,的部分和级数级数发散.常数项级数的概念8解(重要)例讨论等比级数(几何级数)的收敛性.常数项级数的概念9收敛发散发散发散综上级数变为常数项级数的概念10讨论级数的敛散性.解例因为为公比的等比级数,是以故级数收敛.发散.常数项级数的概念11解例判定级数的收敛性.常数项级数的概念12其余项为即常数项级数的概念13例因为后式减前式,得证证明级数并求其和.收敛,常数项级数的概念14故所以,此级数收敛,且其和为2.常数项级数的概念15的部分和分别为则于是也不存在极限.证性质1设常数则有相同的敛散性.所以,有相同的敛散性.结
4、论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.常数项级数的概念二、收敛级数的基本性质16性质2设有两个级数发散.收敛,发散,均发散,敛散性不确定.证极限的性质即证.级数的部分和结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.常数项级数的概念17例都收敛.无穷递减等比数列的和常数项级数的概念18都发散.但收敛.例常数项级数的概念19性质3添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性.性质4设级数收敛,则对其各项任意加括号所得新级数仍收敛于原级数的和.①一个级数加括号后所得新级数发散,则注原级数发散.事实上,加括后的级数就应该收敛了.设原来的级数
5、收敛,则根据性常数项级数的概念质4,收敛发散②一个级数加括号后收敛,原级数敛散性不确定.20证级数收敛的必要条件因为则所以常数项级数的概念三、收敛级数的必要条件21注①级数收敛的必要条件,③必要条件不充分.常用判别级数发散;如调和级数②也可用它求或验证极限为“0”的极限;级数收敛的必要条件:但级数是否收敛常数项级数的概念22是否收敛?讨论调和级数由于知得由知级数发散.发散常数项级数的概念23例判别下列级数的敛散性级数收敛的必要条件常用判别级数发散.解题思路常数项级数的概念24解由于发散解由于发散常数项级数的概念25解而级数所以这个
6、等比级数发散.由性质2知,由性质1知,发散.因调和级数发散,为公比的等比级数,是以收敛.常数项级数的概念26练习为收敛级数,a为非零常数,试判别级数的敛散性.解因为收敛,故从而故级数发散.级数收敛的必要条件:常数项级数的概念27常数项级数的基本概念基本审敛法3.按基本性质则级数收敛由定义,2.则级数发散一般项、部分和、收敛、发散及级数的性质常数项级数的概念四、小结级数收敛的必要条件记住等比级数(几何级数)的收敛性1.28思考题是非题非非是常数项级数的概念29作业习题11-1(192页)1.(1)(3)2.(2)(3)(4)3.(2
7、)(3)4.常数项级数的概念30
