11高数β[1]卷b评析

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1、理学院鲜大权《高等数学B》期末考试辅导西南科技大学2011《高等数学B[1]》期末试卷（B卷）一、选择题（每小题4分，共20分）11、若y=[x]表示取整函数，则limx[]=()。+x→0xA、0，B、1，C、2，D、3。111解：设xn=∈∧(1Nn>),则[]=n,∴lim[]1x=⇒()B。+nxx→0x注:设x=+nr,其中为整数,n01<

2、()。A、0B、1C、2D、3*kλx解：此处所言重根为狭义的重根,即二重根,因此k=2。需注意的是特解y=xQ(x)e中的mk是指λ为齐次方程yp′′+yq′+=y0的重特征根，这是广义的重根,它包括了kk=0,1,2三种情况。3、设f(x),g(x)是恒大于零的可导函数，且f′(x)g(x)−f(x)g′(x)<0，则当af(b)g(x)B、f(x)g(a)>f(a)g(x)C、f(x)g(x)>f(b)g(b)D、f(x)g(x)>f(a)g(a)fx

3、gxfxgx′()()−()()′fx()'fx()解：fxgxfxgx′′()()−<()()0⇒<0,即[]0<⇒单减2gx()gx()gx()fa()fx()fb()∴axb<<⇒>>⇒A。ga()gx()gb()注:为单元作业原题。x24、函数∫(1td−)t的上凹区间是（）。0A、(1,+∞)B、(1,1)−C、(,−∞+∞)D、(,−∞1)x2'2''解：设f()xt=−∫(1)dt,则fxx()(1)=−，∴=−f()2(1)0xx>⇒x>1⇒A。0注:也可直接通过积分法求出f()x后再求

4、导。即2011-2012-1学期《高等数学B1》-B卷第1页共5页理学院鲜大权《高等数学B》期末考试辅导xx1123232'fx()=−∫(t21)tdt+=−(ttt+=−)xxx+⇒=−fx()2(1)x。0330−x5、设e是f()x的一个原函数，则∫xfxdx()=()ex−x−+Cex−x(1++)C−x(1)−xA、(1)B、C、ex−+CD、−+ex(1)+Ce−x−x−x解：由是f()x的一个原函数知f()()xe==−e−−xx−x−x−x−x∴=∫∫∫∫xfxdx()−==xedxx

5、dexe−=edxxe+e+C⇒()B。二、填空题（每小题4分，共20分）1111、lim(1+++")=__________。nn→∞24211−1112n1lim(1+++")=lim=lim(2−)=2解：nn→∞2422nn→∞1n→∞−1。1−22ax⎧sin2x+e−1⎪x≠02、设f(x)=⎨x，则当a=__________时，f(x)在点x=0处连续。⎪⎩ax=022axax2axsin2xe+−1sin2xe−12ae解：∵lim()fxa==limlim[+]=2lim+=2(1+)

6、xx→→00xxx→0xx→01由lim()fxf==(0)a⇒+2(1aaa)=⇒=−2,即a=−2时，f(x)在点x=0处连续。x→03、设yf=cos[()]x，其中f可微，则dy=__________。'解：dy=−sin[()]()fxfxdx。fx(54)−−f(1)4、已知f()x可导，则lim=__________。x→1x−1fx(54)−−f(1)f(14(1+−−xf))(1)'解：lim=−4lim=−4f(1)。xx→→11xx−−14(1)2dy22=5、若x+y=1，则2_

7、_________。dx22''x解：x+y=1两边对x求导得220xy+=y⇒=y−y2011-2012-1学期《高等数学B1》-B卷第2页共5页理学院鲜大权《高等数学B》期末考试辅导xyx−−()'22''yxy−+yxy1∴y=−=−=−=−。2233yyyy三、解答题（每小题7分，共42分）⎧x=t−sintπ1、求摆线⎨在t=时的切线方程。⎩y=1−cost2dyy′sintdyt解：∵==，∴=1-----4分，dxx′1cos−tdxπtt=2ππ又t=时x=−=1,y122π因此得所求切

8、线方程为yx−=−−1(1)-----3分。2f(1++−−hfhf)(1)2(1)2、设f(x)在x=1某邻域内二阶可导，求lim2。h→0h33分分fhfh′′(1+−−)(1)fhfh′′′(1++−)′(1)1分解：原式==lim=limf′′(1)。hh→→0022h23、求微分方程xy′+=++yx3x2的通解。'2解法一：将原方程化为()xy=++x32x1332两边对x积分一次,取积分常数为C得：xyxxx=+++2C321