电磁场与微波技术01(场论)new

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第１章场论1.1矢量的基本运算公式1.2场的基本概念1.3标量场的梯度1.4矢量场的散度和旋度1.5格林定理和亥姆霍兹定理1.6常用正交曲线坐标系1 1.1矢量的基本运算公式1.1.1标量和矢量1.1.2基本运算公式1.1.3常用矢量2 1.1矢量的基本运算公式标量-用大小能够完1.1.1标量和矢量整描述的物理量矢量-需用大小和方矢量的表示方法向描述的物理量若三个相互垂直的坐标轴上的分量已知,一个矢量就确定了。例如在直角坐标系中,矢量A的三个分量模值分别是A,A,A,则A可表示为xyzAxˆAyˆAzˆAxyz该矢量的模为AA2A2A2xyzAAAAA的单位矢量为ˆˆxˆyˆzAxyzAAAAxˆcosayˆcoszˆcos3 1.1矢量的基本运算公式1.1.1标量和矢量例如,在直角坐标下,标量场如温度场,电位场,高度场等;矢量场如流速场,电场,涡流场等。4 1.1矢量的基本运算公式1.1.2矢量的基本公式设AxˆAyˆAzˆAxyzBxˆByˆBzˆBxyz(1)矢量的数乘aAxˆaAyˆaAzˆaAxyz(2)矢量的加法和减法ABxˆ(AB)yˆ(AB)zˆ(AB)xxyyzz5 1.1矢量的基本运算公式1.1.2矢量的基本公式(3)标量积和矢量积矢量的相乘有两种定义-标量积(点乘)和矢量积(叉乘)。标量积A·BABABcosaABABBA并有xˆyˆyˆzˆzˆxˆ0,xˆxˆyˆyˆzˆzˆ1因而得ABABABABxxyyzz2222AAAAAAxyz6 1.1矢量的基本运算公式1.1.2矢量的基本公式(3)标量积和矢量积矢量积A×BABnˆABsinaABAB(ΒA)并有xˆxˆyˆyˆzˆzˆ0xˆyˆzˆ,yˆzˆxˆ,zˆxˆyˆ故AB(xˆAyˆAzˆA)(xˆByˆBzˆB)xyzxyzxˆ(ABAB)yˆ(ABAB)zˆ(ABAB)yzzyzxxxxyyx7 1.1矢量的基本运算公式1.1.2矢量的基本公式（4）三重积矢量的三连乘也有两种-标量、矢量三重积。标量三重积为A(BC)B(CA)C(AB)矢量三重积为A(BC)B(AC)C(AB)8 1.1矢量的基本运算公式1.1.2矢量的基本公式dAdAdAdAxˆyˆzˆ(5)求导xyzdtdtdtdt222例求矢量场Axyxˆxyyˆzyzˆ的矢量线方程。dxdydz解矢量线应满足的微分方程为222xyxyyzdxdy22zc1xxyxy解得矢量方程22从而有xycdxdz222xyyzc1和c2是积分常数。9 1.1矢量的基本运算公式1.1.2矢量的基本公式(6)曲线积分AdlAcosdlllq例设Erˆ，求任意两点a、b间的矢量E的线积分。24r0bb解EdlEdlcosaarbrbqEdrdrrr2aa4r0q114rr0ab10 1.1矢量的基本运算公式1.1.2矢量的基本公式(7)曲面积分例已知矢量场rxxˆyyˆzzˆ，求由内向外穿过圆锥面x2+y2=z2与平面z=H所围封闭曲面的通量。解rdsrdsrdsss1s2rdsrdscos0AdsAcosdsssss22srdssxdydzsydxdyszdxdy111123HdxdyHdxdyHHHs1s111 1.1矢量的基本运算公式1.1.3常用矢量(1)单位矢量一个特定方向上的单位矢量等于该方向上的任一矢量除以其幅值(2)分矢量一个矢量在特定方向上的投影为其在该方向上的分量(3)切向矢量（分量）(4)法向矢量（分量）12 1.2场的基本概念1.2.1定义1.2.2分类1.2.3场图13 1.2场的基本概念1.2.1场的定义场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量值。1.2.2场的分类（1）标量场例如,在直角坐标系标量场的场线-等值线(面)。等值线14 1.2场的基本概念1.2.1场的定义场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量值。1.2.2场的分类（1）标量场标量场φ(x,y,z)的等值面方程为(x,y,z)const.例求数量场φ=(x+y)2-z通过点M(1,0,1)的等值面方程。解点M的坐标是x=1,y=0,z=1，则该点的数量场值为000φ=(x+y)2-z=0。其等值面方程为(xy)2z00002或z(xy)15 1.2场的基本概念1.2.1场的定义场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量值。1.2.2场的分类（2）矢量场例如,在直角坐标系矢量场的场线-矢量线。其方程为Adl0在直角坐标下AxAy二维场三维场dxdy16 1.2场的基本概念1.2.1场的定义场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量值。1.2.2场的分类（2）矢量场222例求矢量场Axyxˆxyyˆzyzˆ的矢量线方程。dxdydz解矢量线应满足的微分方程为222xyxyyzdxdy22zcxxyxy1从而有dxdz解得矢量方程22xyc222xyyzc和c是积分常数。1217 1.2.3场图矢量场--矢量线其方程为Adl0形象描绘场分布的工具--场线在直角坐标下:标量场--等值线(面)。其方程为h(x,y,z)constAxAydxdy矢量线在某一温度上沿什么方向温度变化最快？18 1.3标量场的梯度1.3.1方向导数1.3.2梯度1.3.3梯度的物理意义19 1.3标量场的梯度1.3.1方向导数标量场φ(x,y,z)在某点沿l方向的变化率称为φ沿该方向的/。l它的值与所选取的方向有关lˆ,设lˆxˆcosyˆcoszˆcosxyzlxlylzlcoscoscosxyz20 1.3标量场的梯度标量函数的最大变化率1.3.1方向导数定义在直角坐标系下1.3.2梯度定义性质垂直于等值面；uˆ指向变化最快的方向；gradull最大的变化率；21 引入xˆyˆzˆxˆyˆzˆxyzxyz则lˆ||cos(,lˆ)l||lmax定义标量场φ(x,y,z)在点P(x,y,z)处的梯度(gradient)为gradxˆyˆzˆxyz22 标量函数φ的等值面的法线方向单位矢量可用梯度表示为nˆc即梯度的方向与过该点的等值面相垂直,并由梯度定义知,它指向φ增大的方向。0,lclˆ0c一座山的等高线图23 梯度运算有如下规则:()()1()2f()f'()02222222xyz24 22xy例求数量场u在点M(1,1,2)处沿lxˆ2yˆ2zˆ方向的方向导数。z11212解l方向的方向余弦为coscos,cos,cos312222323322u2xu2yu(xy)而,,22cos2xzyzz1222z223u122x22y22x2y2在l方向的方向导数为cos12222232l3z3z3zuuuu在点M处沿l方向的方向导数coscoscoslxyz122222212x22y2xy112l3z33z333z43M25 22xy例求数量场u在点M(1,1,2)处沿lxˆ2yˆ2zˆ方向的方向导数。z122解l方向的方向余弦为cos,cos,cos33322u2xu2yu(xy)而,,2xzyzzz22u12x22y2xy在l方向的方向导数为2l3z3z3z在点M处沿l方向的方向导数1222211l33343M26 例求r在M(1，0，1)处沿lxˆ2yˆ2zˆ方向的方向导数。解由前例知r的梯度为1gradrr(xxˆyyˆzzˆ)r222点M处的坐标为x=1,y=0,z=1,rxyz211所以r在M点处的梯度为gradrrxˆyˆ22r在M点沿l方向的方向导数为rrlˆlM而lˆl1xˆ2yˆ2zˆl333r1102121所以lM232323227 1.3.3梯度的物理意义•标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数;•梯度的大小为该点标量函数的最大变化率，即该点最大方向导数;•梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向。例高度场的梯度•与过该点的等高线垂直；•数值等于该点位移的最大变化率；•指向地势升高的方向。三维高度场的梯度28 例电位场的梯度•与过该点的等位线垂直；•数值等于该点的最大方向导数；•指向电位增加的方向。电位场的梯度29 1.4矢量场的散度和旋度1.4.1通量1.4.2散度1.4.3环量1.4.4旋度30 1.4矢量场的散度和旋度1.4.1通量元通量dsnˆds通量AdsAnˆdsssAdsS31 通量的物理意义矢量E沿闭合曲面S的面积分Edss可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质:=0(无源)<0(有负源)>0(有正源)矢量场的通量32 1.4矢量场的散度和旋度1.4.2散度定义矢量A在某点的散度(divergence),记为divA:AdsdivAlimSxV哈密顿(W.R.Hamilton)引入微分算子xˆyˆzˆxyz则散度可以表示为divAAAxˆyˆzˆ(xˆAyˆAzˆA)xyzxyzAAAxyzxyz33 1.4矢量场的散度和旋度1.4.2散度AdSlimAVAdVnSnVV0n1n34 1.4矢量场的散度和旋度1.4.2散度AdSlimAVAdVnSnVV0n1n得高斯公式(散度定理)AdSAdVSV意义•矢量函数的面积分与体积分的互换。•该公式表明了区域V中场A与边界S上的场A之间的关系。35 例球面S上任意点的位置矢量为rxˆxyˆyzˆzrˆr,试利用散度定理计算rdsS解xyzr3xyz433rdsrdv3dv3r4rSVV336 1.4矢量场的散度和旋度1.4.3环量矢量A沿某封闭曲线的线积分,定义为A沿该曲线的环量(或旋涡量),记为Adlld1环量密度limΑdldSSPSL取不同的路径，其环量密度不同。37 1.4矢量场的散度和旋度1.4.4旋度旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。旋度(curl或rotation)rotAAd与环量密度的关系为rotAeˆndSxˆyˆzˆ在直角坐标系下AxyzAAAxyz38 1.4矢量场的散度和旋度1.4.4旋度[Adl]maxCurlAnˆlimlS0S旋度的物理意义•矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。•点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。•点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。•在矢量场中，若A=J0,称之为旋度场(或涡旋场)，J称为旋度源(或涡旋源)；•若矢量场处处A=0，称之为无旋场(或保守场)。39 1.4矢量场的散度和旋度1.4.4旋度矢量A的旋度可表示为算子与A的矢量积,即curlAA计算▽×A时,先按矢量积规则展开,然后再作微分运算,得Axˆyˆzˆ(xˆAyˆAzˆA)xyzxyzˆAzAyˆAxAzˆAyAxxyzyzzxxy40 旋度运算符合如下规则:(AB)AB(A)AA(AB)BAAB(A)02A(A)A在直角坐标系中有2222AxˆAyˆAzˆAxyz41 斯托克斯(Stockes)定理A是环量密度，即围绕单位面积环路上的环量。因此，其面积分后，环量为Adl(A)dSliii即Stocke’s定理lAdlS(A)dS•矢量函数的线积分与面积分的互换。•该公式表明了区域S中场A与边界L上的场A之间的关系在电磁场理论中，Gauss公式和Stockes公式是两个非常重要的公式。42 例自由空间中的点电荷q所产生的电场强度为qqxˆxyˆyzˆzEr32223/24r4(xyz)00求任意点处(r≠0)电场强度的旋度▽×E。解xˆyˆzˆqzyxExˆ33yˆ340xyzyrzrzrxyz333rrrzyx3zˆ33xrxryr43 因z3yz35yrry3yz35zrr可见,xˆ向分量为零;同样,yˆ向和zˆ向分量也都为零。故E0这说明点电荷产生的电场是无旋场。44 例证明下述矢量斯托克斯定理(A)dvAdsVs式中S为包围体积V的封闭面。证设C为一任意常矢，则(CA)A(C)C(A)C(A)从而有(CA)dvC(A)dvVV根据散度定理，上式左边等于(CA)ds(Ads)CCAdsSSS于是得C(A)dvCAdsVS由于上式中常矢C是任意的，得证。45 1.5亥姆霍兹定理1.5.1格林定理1.5.2亥姆霍兹定理46 1.5亥姆霍兹定理1,5,1散度和旋度的比较①矢量场的散度是一个标量函数,而矢量场的旋度是一个矢量函数。②散度表示场中某点的通量密度,它是场中任一点通量源强度的量度;旋度表示场中某点的最大环量强度,它是场中任一点处旋涡源强度的量度。③散度由各场分量沿各自方向上的变化率来决定;而旋度由各场分量在与之正交方向上的变化率来决定。47 1.5.2亥姆霍兹定理在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定。矢量A的通量源密度已知矢量A的环量源密度场域边界条件电荷密度（矢量A唯一地确定）在电磁场中电流密度J场域边界条件48 例：判断矢量场的性质F?=0F?0F?=0F?=0F?=0F?049 1.6常用坐标系1.6.1直角坐标系1.6.2圆柱坐标系1.6.3球坐标系50 1.6常用正交曲线坐标系1.6.1直角坐标系坐标变量xyz微元dvdxdydzdsdydzxˆ,dsdxdzyˆ,dsdxdyzˆxyzdldxxˆdyyˆdzzˆ51 1.6常用正交曲线坐标系1.6.2圆柱坐标系坐标变量0z三者总保持正交关系,并遵循右手螺旋法则ˆˆzˆ柱坐标系52 zˆˆˆ微元dvdddzdldˆdˆdzzˆdsddzˆ,dsddzˆ,dsddzˆz53 1.6常用正交曲线坐标系1.6.3球坐标系坐标变量0r0三者总保持正交关系,并遵循右手螺旋法则rˆˆˆ54 rˆˆˆrˆ微元dvdrrdrsinddsr2sinddrˆ，dsrdrsindˆrdsrdrdˆdldrrˆrdˆrsindˆ55 三种特殊形式的场1.平行平面场：如果在经过某一轴线(设为Z轴)的一族平行平面上，场F的分布都相同，即F=f(x,y)，则称这个场为平行平面场。56 三种特殊形式的场2.轴对称场：如果在经过某一轴线(设为Z轴)的一族子午面上，场F的分布都相同，即F=f(r,)，则称这个场为轴对称场。57 三种特殊形式的场3,球面对称场：如果在一族同心球面上(设球心在原点)，场F的分布都相同，即F=f(r)，则称这个场为球面对称场。58 233练习1设f2xy3yz123fsin2zcos221f3ar3sin2cosr2求ff。练习2设Arˆsincosˆcoscosˆsin122Aˆzsinˆzcoszˆ2zsin22Axˆ4y2xyˆ5yxzˆ3z3求A及A。59