11-12初等数论 期末试卷 参考答案 a(数学091)

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1、莆田学院期末考试参考答案及评分标准2011——2012学年第一学期（A）卷课程名称：初等数论适用年级/专业数学091试卷类别：开卷（）闭卷（√）学历层次：本科考试用时：120分钟一、填空题（每空2分，共20分）1、①90722、①43、①无4、①-2，-1，0，1，25、①-16、①星期三7、①若是素数，则。8、①(28,45,53)(注：答案不惟一！)9、①6②2,5,6,7,8,11二、计算题（每小题10分，共50分）1、(10分)解：因为，而，所以原不定方程有整数解。将原方程化简得。设，显然，是方程的一个解。因此，其通解为。‥‥‥‥(5分)把代入原三元一次

2、不定方程得：5，这个二元一次不定方程的通解为，把分别代入，可得原不定方程的通解为(注：答案形式上不唯一！)‥‥‥‥(5分)2、(10分)解：由及①式可得：③由②，③得：，解此一次同余式得，‥‥‥‥(5分)再由①式，即。所以此联立同余式的解是。‥‥‥‥(5分)3、(10分)解：注意到原式与下面的同余式组等价：容易验证有两个解：；有三个解：。‥‥‥‥(5分)故同余式有6个解，即各同余式组的解。由孙子定理得，以的值分别代入上式即得原同余式的全部解：5。‥‥‥‥(5分)4、(10分)解：(1)根据Jacobi符号的值不可以判断二次同余式是否有解。比如，根据Jacobi符

3、号，但是同余式无解。‥‥‥‥(4分)(2)根据Legendre符号的性质，若把视为Jacobi符号，则注意到为偶数。因此，可以使用Jacobi符号的性质求Legendre符号的值。‥‥‥‥(6分)5、(10分)解：由于，则，即。‥‥‥‥(2分)故是的约数。又因为，则，于是必有，得到。‥‥‥‥(3分)又由是999的约数可知只能是1，3，9。5又因为999能写成49个数的和：，其中每一个数都能被9整除，所以的最大值为9。‥‥‥‥(5分)三、证明题（10分）解：由假设知道分别通过个整数。因此，通过个整数。‥‥‥‥(3分)那么只需证明这个整数是两两互不同余即可。假定，①

4、其中是所通过的完全剩余系中的整数，而是所通过的完全剩余系中的整数，由于，，以及即得，。则，。这表明若与不全相同，则①式不成立。‥‥‥‥(7分)四、应用题（每小题10分，共20分）1、解：根据题意，可得到下面的同余式组：，‥‥‥‥(3分)此时，，，，，。‥‥‥‥(3分)解，得。故。‥‥‥‥(4分)2、解：设33L的倒次，15L的倒次。5解不定方程，即得‥‥‥‥(2分)，显然有无穷多种倒法，但是，最简单的一种是：即是的一个正整数解。‥‥‥‥(6分)具体操作方法如下：可装33L油的容器盛油4次，倒入可装15L的容器中8次，则可剩下12L油。‥‥‥‥(2分)5