数学---初等数论.ppt

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1、大学数学初等数论线性代数射影几何概率统计初等数论谭万林序言数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支，其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即整数）分布以及数论函数等内容，统称初等数论（ElementaryNumberTheory）。初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里德的《几何原本》中就已出现。欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法，即所谓欧几里得算法。我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”正是我国古代《孙子算经》中的下卷第26题，我国称之为“孙子定理”

2、。近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。1801年，高斯的《算术探究》是数论的划时代杰作。“数学是科学之王，数论是数学之王”。-----高斯欧几里德高斯费马欧拉拉格朗日毕达格拉斯由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等新分支。而且近年来初等数论在计算器科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了广泛的应用，无疑同时间促进着数论的发展。数论是以严格和简洁著称，内容既丰富又深刻。我将会介绍数论中最基本的概念和理论，希望

3、大家能对这门学问产生兴趣，并且对中小学时代学习过的一些基本概念，例如整除性、最大公因子、最小公倍数、辗转相除法等，有较深入的了解。第一章整数的整除性§1.1整除的概念一、基本概念1、自然数、整数2、正整数、负整数3、奇数、偶数一个性质：整数+整数=整数整数-整数=整数整数*整数=整数二、整除1、定义：设a，b是整数，b≠0。如果存在一个整数q使得等式：a=bq成立，则称b能整除a或a能被b整除，记作b∣a；如果这样的q不存在，则称b不能整除a。2、整除的性质（1）如果b∣a，c∣b，则c∣a.（2）如果b∣a，则cb∣ca.（3）如果c∣a，则对任何整数

4、d，c∣da.（4）如果c∣a，c∣b，则对任意整数m，n，有c∣ma+nb.（5）如果a∣b，b∣a，则a=±b.3、质数、合数质数（素数）合数质因数分解质因数算术基本定理4、带余除法定理：设a，b是两个整数，其中b＞0，则存在两个唯一的整数q及r，使得a=bq+r，0≤r＜b成立.我们称r是b除a的余数。可以看出：b整除a的充要条件是r=0。§1.2最大公因数和辗转相除法一、最大公因数1、定义设a1，a2，…，an是n个不全为零的整数，若整数d是它们之中每一个的因数，那么d就叫做a1，a2，…，an的一个公因数。整数的公因数中最大的一个叫做它们的最大

5、公因数，记作（a1，a2，…，an）。2、互质设a1，a2，…，an是n个不全为零的整数，若（a1，a2，…，an）=1，则称a1，a2，…，an是互质的。注：三个互质比一定两两互质。比如（3，4，6）=1，但（3，6）=3，（4，6）=2.3、最大公因数的性质（1）当b∣a时，（a，b）=b.（2）a，b的一切公因数都是（a，b）的因数.（3）若a，b是正整数，m是任一正整数，则有（am，bm）=（a，b）m.（4）若（a，b）=1，c为任一正整数，则有（ac，b）=（c，b）（5）若（a，b）=1，b∣ac，则有b∣c.（6）若a，b，c是任意三个正

6、整数，则（a，b）=d的充分必要条件是：4、辗转相除法一个推论若a，b是正整数，且（a，b）=d，则必存在整数m和n，使得d=ma+nb注：证明可由带余除法逆向代入证得。例1：求（735000，238948）.解：因为735000=238948×3+18156，238948=18156×13+292018156=2920×6+6362920=636×4+376636=376×1+260376=260×1+116260=116×2+28116=28×4+428=4×7所以（735000，238948）=4.例2：求（2605，-5125）.解：因为5125

7、=2605×1+2520，2605=2520×1+852520=85×29+5585=55×1+3055=30×1+2530=25×1+525=5×5所以（2605，-5125）=5.例3：求（2605，3245，7250）.解：先求2065和3245的最大公因数。因为3245=2605×1+1180，2605=1180×1+8851180=885×1+295885=295×3所以（2605，3245）=295.再求295与7250的最大公因数。7250=295×24+170，295=170×1+125170=125×1+45125=45×2+3545=

8、35×1+1035=10×3+510=5×2所以（2605，3245，7250）