资源描述：
《初等数论学生课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、初等数论大纲要求同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余系，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法*，欧拉定理*，孙子定理*。第一节同余定义数论中的重要概念。给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足（a-b）能够被m整除，即（a-b）/m得到一个整数，那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(modm)。对模m同余是整数的一个等价关系。最先引用同余的概念与符号者为德国数学家高斯。同余理论是初等数论的重要组成部分，是研究整数问题的重要工具之一，利用同余来论证某些整除性的问题是很简便的。同
2、余是数学竞赛的重要组成部分。性质(1)若a≡0(modm),则m
3、a;(2)a≡b(modm)等价于m
4、(a-b)1反身性a≡a(modm)2对称性若a≡b(modm)，则b≡a(modm)3传递性若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡c(modm)4同余式相加若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a±c≡b±d(modm)5同余式相乘若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则ac≡bd(modm)4线性运算如果a≡b(modm)，c≡d(modm),那么(1)a±c≡b±d(modm)，(2)a
5、*c≡b*d(modm)5除法若ac≡bc(modm)c≠0则a≡b(modm/gcd(c,m))其中gcd(c,m)表示c,m的最大公约数特殊地,gcd(c,m)=1则a≡b(modm)6幂运算如果a≡b(modm)，那么a^n≡b^n(modm)7若a≡b(modm)，n
6、m,则a≡b(modn)8若a≡b(modmi)(i=1,2...n)则a≡b(mod[m1,m2,...mn])其中[m1,m2,...mn]表示m1,m2,...mn的最小公倍数余数定理：n=km+r(0≤r≤m-1)一个整数n被正整数m
7、除后，余数r有m种情形：0，1，2，3，…，m-1，它们彼此对模m不同余。这表明，每个整数恰与这m个整数中某一个关于模m同余。这样一来，按关于模m是否同余对整数集进行分类，可以将整数集分成m个两两不相交的子集。我们把（所有）对模m同余的整数构成的一个集合叫做模m的一个剩余类。确切地说，若m是一个给定的正整数,则全体整数可以分成m个集，记作A0,A1,…Ai,...,Am-1,其中Ai是由一切形如km+i(k∈Z)的整数所组成的集。剩余类的性质①每一个整数必包含在而且仅包含在上述一个集合里。②两个整数同在一个集合的充
8、分必要条件是它们对模□同余。例如.模12的剩余类，为12个集合：{...,0,12,24,36,...}{...,1,13,25,37,...}{...,2,14,26,38,...}....{...,11,23,35,47...}完系完系,是同余中的一个特殊情况.一般叫做模……的完系。（如：模m的完系）模m的完系是指有m个互不相等的数，模m的余数分别不相等。则这m个数被叫做模m的完系。在模n的剩余类中各取一个元素，则这n个数就构成了模n的一个完全剩余系。完系的性质（1）完系的性质（2）完系的性质（3）简系如果一个
9、模m的剩余类Kr中任一数与m互质,则称Kr是与模m互质的剩余类;在与模m互质的每个剩余类中任取一个数(共f(m)个)所组成的数组,称为模m的一个简化剩余系,简称简系。简系是同余理论中的概念.缩系也叫简系（简化剩余系）。例如，模n的简化剩余系就是小于n且与n互素的整数的集合。例1：模10的简化剩余系为1，3，7，9。例2：模30的简化剩余系为1，7，11，13，17，19，23，29。模n的简化剩余系中元素的个数为φ(n)（既欧拉函数）简系的性质【定理1】x1,x2,...,xφ(m)是模m的简系的充要条件是(x,m
10、)=1且x,xj不同余于m(i≠j,i,j=1,2,...,φ(m)).【定理2】在模m的一个完系中,取出所有与m互质的数组成的数组就是一个模m的简系.【定理3】若(a,m)=1,且x1,x2...,xφ(m)是模的简系,则模ax1,ax2,...,axφ(m)也是模m的简系.费马小定理(FermatTheory)是数论中的一个重要定理，其内容为：假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么a(p-1)≡1（modp）验证推导引理1． 若a,b,c为任意3个整数,m为正整数,且(m,c)=1,则当ac≡bc(mo
11、dm)时,有a≡b(modm) 证明：ac≡bc(modm)可得ac–bc≡0(modm)可得(a-b)c≡0(modm)因为(m,c)=1即m,c互质,c可以约去,a–b≡0(modm)可得a≡b(modm)引理2． 设m是一个整数,且m>1,b是一个整数且(m,b)=1.如果a1,a2,a3,a4,…am是模m的一个完全剩余系,则ba1,ba2,
